Matrix, die zu sich selbst invers ist (bel. Körper)

03.12.2012, 20:13

Stefan1991

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Matrix, die zu sich selbst invers ist (bel. Körper)

Hi,

ich habe die Aufgabe, dass a,b € K (K ist ein Körper) ist und ich entscheiden soll, ob es x,y € K gibt, so dass die folgende Matrix zu sich selbst invers ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & x \\ b & y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meiner Meinung nach ist das möglich, wenn nicht gleichzeitig a = y und b = x gilt (denn dann wäre die Determinante ja schonmal 0). Außerdem darf nicht gleichzeitig a = b = 0 und x = y = 0 sein und y muss -a sein. Stimmt das?

Gibt es noch andere Lösungen?

Eigentlich müssen ja alle Lösungen das hier erfüllen, oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a² + xb & ax + xy \\ ba + yb & bx + y² \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das kann man dann so umformulieren $\begin{eqnarray*} a² + xb = 1 = bx + y², ba + yb = 0 = ax + xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a² + xb = 1 = bx + y² \end{eqnarray*}$ ergibt mit ein bisschen umformen, dass a = y oder a = -y sein muss. Komischerweise komme ich auf keine vernünftige Lösung, wenn ich a = y in die Matrix einsetze. Dann habe ich nämlich wieder 0 als Determinante. Liegt mein Fehler vielleicht wo anders?

Ich würde mich sehr über TIpps freuen!

Lg
Stefan

03.12.2012, 22:27

Macks

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Hi Stefan,

was bekommst du denn raus wenn du a = -y setzt ?

also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -y & x \\ b & y \end{pmatrix}^2 \end{eqnarray*}$

ich bekomme auf die Schnelle:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y^2+xb & 0 \\ 0 & y^2+xb \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus, was mit der Bedingung $\begin{eqnarray*} y^2+xb = 1 \end{eqnarray*}$ recht stark nach der Einheitsmatrix aussieht.
Also wären deine Bedingungen a = -y und $\begin{eqnarray*} y^2 + bx =1 \end{eqnarray*}$

Aber ich kann mich auch täuschen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß
Max

05.12.2012, 17:11

Stefan1991

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Ja, das stimmt. Die Frage ist, ob das die einzigen möglichen Werte sind oder ob es noch andere gibt

05.12.2012, 17:28

Stefan1991

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Ich komm mit der Aufgabe echt nicht klar. Wie geht man denn an sowas ran?

05.12.2012, 19:00

Macks

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RE: Matrix, die zu sich selbst invers ist (bel. Körper)

Zitat:

Original von Stefan1991

Das kann man dann so umformulieren $\begin{eqnarray*} a² + xb = 1 = bx + y², ba + yb = 0 = ax + xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a² + xb = 1 = bx + y² \end{eqnarray*}$ ergibt mit ein bisschen umformen, dass a = y oder a = -y sein muss.

schau doch mal wann a = y eine Lösung sein kann für:

$\begin{eqnarray*} ba + yb = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Komischerweise komme ich auf keine vernünftige Lösung, wenn ich a = y in die Matrix einsetze. Dann habe ich nämlich wieder 0 als Determinante. Liegt mein Fehler vielleicht wo anders?

ansonsten passt doch alles, oder?
Gruß

05.12.2012, 19:04

Che Netzer

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Zitat:

Original von Stefan1991
Ich komm mit der Aufgabe echt nicht klar. Wie geht man denn an sowas ran?

Wenn die Darstellung der Inversen per
$\begin{eqnarray*} \frac1{ay-bx}\begin{pmatrix}y&-x\\-b&a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bekannt ist, überlegen, wie die Determinante aussehen muss und dann eine Fallunterscheidung machen.

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08.12.2012, 17:58

charlydelta

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ich glaube nicht dass das so einfach ist, denn es gibt ja noch viele andere faktoren...
z.b. kann auch die gleichung erfüllt sein, wenn b=x und y=b^-1 bzw y=x^-1
usw usf...
die lösung muss man auch anders herleiten können...
oder?

08.12.2012, 19:13

Rabe

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Ich hänge auch an dieser Aufgabe...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & x \\ b & y\end{pmatrix}^2 = I_2 \end{eqnarray*}$ ist ja eine selbstinverse Matrix, braucht man dann die Darstellung mit der Determinate überhaupt?
Im übrigen erfüllt die gespiegelte Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ebenfalls die geforderte Bedingung. Das hab ich jedoch auch nur durch Rumprobieren rausgekriegt.

Die Frage bleibt aber, wie zeigt man das?

Gruß Rabe

08.12.2012, 19:28

charlydelta

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@Che Netzer
Mir persönlich sagt das nichts... ich hab mal aber mit der Determinante rumprobiert...
Ich komm nur nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & x \\ b & v \end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |\begin{pmatrix} a & x \\ b & v \end{pmatrix}^{2}|=|\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |\begin{pmatrix} a & x \\ b & v \end{pmatrix}^{2}|=1<br /> \Leftrightarrow (ay-xb)^{2}=1 \end{eqnarray*}$

Aber dann komm ich nicht weiter... Ich kann höchstens das Binom ausmultiplizieren, aber das bringt auch nicht viel mehr.

08.12.2012, 19:55

Elvis

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Quadrieren der Matrix und vergleichen mit den Nullen der Einheitsmatrix liefert die notwendigen Bedingungen (1) a+y=0 oder (2) x=b=0. Vergleich mit den Einsen der Einheitsmatrix gibt dann im Fall (1) a²+bx=1 (y²+bx=1 ist dann wegen a=-y erfüllt) und im Fall (2) a²=y²=1 als notwendige Bedingungen. Jetzt musst du nur noch nachrechnen, ob das alles hinreichend ist.

Du hattest schon fast alles, du hast nur nicht gesehen, dass ax+xy=(a+y)x und ab+by=(a+y)b gilt.

08.12.2012, 21:01

Rabe

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@Elvis: Aus welcher Vorausetzung bzw. welchem Rechenschritt folgt (1) a+y=0 und (2)x=b=0? Ich hab's versucht nachzurechnen, aber irgendwie komm ich gerade nicht drauf.

08.12.2012, 22:55

Olafur

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Zitat:

Original von Rabe
@Elvis: Aus welcher Vorausetzung bzw. welchem Rechenschritt folgt (1) a+y=0 und (2)x=b=0? Ich hab's versucht nachzurechnen, aber irgendwie komm ich gerade nicht drauf.

Es folgt ein (1) a+y=0 ODER (2)x=b=0
du hast die Bedingung b(a+y) = 0 im Eintrag links unten, die bekommst du indem du die Matrix stur quadrierst und einen koeffizientenweise das Ergebnis mit der Einheitsmatrix vergleichst.

Grüßle
Olafur

09.12.2012, 00:53

Rabe

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Okay, danke. smile

smile

Das hab ich nun verstanden und dann macht man eine Fallunterscheidung und setzt die Werte in die Gleichungen ein, die der Threadsteller schon genannt hatte:

$\begin{eqnarray*} 1) a^2 + bx = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2) ax + xy = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3) ab + by = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4) bx + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Aber warum ist das dann nur die notwendige und nicht die hinreichende Bedingung, wie Elvis meinte? Oder hab ich das irgendwie falsch verstanden?

09.12.2012, 10:40

charlydelta

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Zitat:

Original von Elvis
Quadrieren der Matrix und vergleichen mit den Nullen der Einheitsmatrix liefert die notwendigen Bedingungen (1) a+y=0 oder (2) x=b=0. Vergleich mit den Einsen der Einheitsmatrix gibt dann im Fall (1) a²+bx=1 (y²+bx=1 ist dann wegen a=-y erfüllt) und im Fall (2) a²=y²=1 als notwendige Bedingungen. Jetzt musst du nur noch nachrechnen, ob das alles hinreichend ist.

Du hattest schon fast alles, du hast nur nicht gesehen, dass ax+xy=(a+y)x und ab+by=(a+y)b gilt.

Hi Elvis, vielen Dank für deinen Beitrag, das hat mich ein großes Stück weitergebracht smile

smile

Nur stellen sich mir jetzt noch weitere Fragen diesbezüglich:

Ich habe also den Fall a²+bx=1=y²+bx (Aus a+y=0)
Daraus folgt: a²=y²
und daraus: a²+bx=1, klar. Nur wie will ich damit weitermachen?
ich kanns noch ein bisschen umformen, z.B.: bx=1-a² oder x = (1-a²)*b^(-1)... aber dann hörts doch auf... Oder was übersehe ich?
Und was meinst du mit "nachrechnen, ob das alles hinreichend ist."?

09.12.2012, 10:57

Elvis

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Für den Fall (1) x=0,b=0,a²=y²=1 gibt es nur a und y = +/- 1 , vier Matrizen quadrieren. fertig.

Für den Fall (2) $\begin{eqnarray*} y=-a, b=\frac {1-a^2} x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \ne 0 \end{eqnarray*}$ quadriere $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & x \\ \frac {1-a^2}{x} & -a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .Betrachte ebenso $\begin{eqnarray*} b\ne 0 \end{eqnarray*}$ . fertig, denn b=x=0 war ja bereits durch Fall (1) erledigt.

09.12.2012, 11:55

charlydelta

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Achso, klar Big Laugh

Big Laugh

hab da ein bisschen verkompliziert gedacht ^^

Okay ich hab alle 6 Fälle nachgerechnet und sie stimmen.
Prima smile

smile

Danke für deine Hilfe Elvis smile

smile

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