Potenzreihenentwicklung

03.12.2012, 22:05

FloTU

Potenzreihenentwicklung

Hallo hab ich hier was falsch gemacht ?

Es soll entwickelt werden: $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=\frac{2}{3-x} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich erstmal bestimmt:

$\begin{eqnarray*} 0\rightarrow f^{0}\left(x\right) = 2\left(3-x\right)^{-1} 1\rightarrow f^{1}\left(x\right)= -2\left(3-x\right)^{-2} 2\rightarrow f^{2}\left(x\right)= 4\left(3-x\right)^{-3} 3\rightarrow f^{3}\left(x\right)= -12\left(3-x\right)^{-4} n\rightarrow f^{n}\left(x\right)= \left(-1\right)^{n}*2*n!*\left(3-x\right)^{-\left(n+1\right)} f^{n}\left(0\right)= 6\left(-1\right)^{n}n!*3^{-n} a_{n}= \frac{f^{n}\left(0\right)}{n!}= 6\left(-1\right)^{n}3^{\left(-n\right)} \end{eqnarray*}$

und da stimmt irgendwas nicht .

03.12.2012, 22:15

Cheftheoretiker

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RE: Potenzreihenentwicklung
Hi,

warum so umständlich? Versuch es doch mal mit der geometrischen Reihe. smile

03.12.2012, 22:20

FloTU

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kannst du mir mal erklären wie das mit der geometrischen reihe geht ich weiß jetzt nicht was du meinst.

03.12.2012, 22:22

Cheftheoretiker

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Naja, du arbeitest dich so gesehen zurück.

Du weißt das folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}r^k=\frac{1}{1-r} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |r|<1 \end{eqnarray*}$

D.h. du gehst von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-r} \end{eqnarray*}$ aus und versuchst deine Funktion in diese Form zu pressen. smile

03.12.2012, 22:26

FloTU

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d.h. ich muss jetzt mein f(x) umformen das ich die Form der geometrischen reihe bekomme ? unglücklich

03.12.2012, 22:26

Cheftheoretiker

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Jo, du musst die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in diese Form bringen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-r} \end{eqnarray*}$ smile

03.12.2012, 22:32

FloTU

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so ?

$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=\frac{2}{3-x}=\frac{-2}{x-3}\rightarrow\frac{-2}{3-x}=\frac{1}{1-r}\rightarrow r=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{1-\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\right)} \end{eqnarray*}$

03.12.2012, 22:34

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von FloTU
so ?

$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=\frac{2}{3-x}=\frac{-2}{x-3}\rightarrow\frac{-2}{3-x}=\frac{1}{1-r}\rightarrow r=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{1-\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\right)} \end{eqnarray*}$

Warum multiplizierst du denn mit -1? Deine Funktion steht doch bereits in der richtigen Darstellung.

Du musst lediglich nur noch die 2 im Zähler und die 3 im Nenner ausklammern. smile

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