Unstetigkeit von f(0)=sin(1/0)

03.12.2012, 23:24

klaus1111

Unstetigkeit von f(0)=sin(1/0)

Ich muss beweisen, dass die Funktion f(x) = sin(1/x) an der Stelle x = 0 unstetig ist, jedoch weiß ich nicht ob das was ich da hab ausreicht:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x_0)-f(x_1) = |\sin\frac{1}{x_0} - \sin\frac{1}{x_1} |<\epsilon<br /> \end{eqnarray*}$

Falls stetig, dann Bedingungen:
$\begin{eqnarray*} |x_0-0| < \delta \end{eqnarray*}$
und:
$\begin{eqnarray*} |x_1-0| < \delta \end{eqnarray*}$

-->

$\begin{eqnarray*} x_0 < \delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 < \delta \end{eqnarray*}$

Ich hab diese Funktion mit der Funktion f(x) = 1/x verglichen:

$\begin{eqnarray*} |\sin\frac{1}{x_0} - \sin\frac{1}{x_1} |< |\frac{1}{x_0} - \frac{1}{x_1}|=|\frac{x_1-x_0}{x1*x0}| \end{eqnarray*}$

Dann habe ich :
$\begin{eqnarray*} x_1-x_0 < 2\delta \end{eqnarray*}$

und:
$\begin{eqnarray*} x_1*x_0 < \delta^2 \end{eqnarray*}$

Daher:
$\begin{eqnarray*} |\frac{x_1-x_0}{x1*x0}| < \frac{2\delta }{\delta^2 } <\epsilon \end{eqnarray*}$

Und daher:
$\begin{eqnarray*} \delta > \frac{2}{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Und da sieht man schon, dass wenn Delta sich 0 annähert, das Epsilon immer größer wird, und daher bei 0 unstetig ist.

Kann ich das so als Beweisführung zeigen?
Oder stimmt da was vom Prinzip her nicht?

Meine größte Unsicherheit ist hier der Vergleich mit der Funktion 1/x. Darf ich das so ohne weiteres machen?

04.12.2012, 08:32

Mazze

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Zitat:

Kann ich das so als Beweisführung zeigen? Oder stimmt da was vom Prinzip her nicht?

So wie die Aufgabe formuliert ist macht sie keinen Sinn. Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist. Offenbar gehört x = 0 nicht zum Definitionsbereich der Funktion und daher ist die Frage, ob diese Funktion dort stetig nicht sinnvoll. Ich glaube eher deine Funktion ist definiert als

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0\end{cases} \end{eqnarray*}$

oder?

04.12.2012, 08:59

Mystic

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Die Frage könnte auch sein, ob die Funktion sin(1/x) für x=0 überhaupt stetig ergänzbar ist...

04.12.2012, 17:52

klaus1111

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Zitat:

Die Frage könnte auch sein, ob die Funktion sin(1/x) für x=0 überhaupt stetig ergänzbar ist...

Ja, wie auch immer. Die Fragestellung ist beweisen sie wieso sie in 0 unstetig ist.
Und das soll mit epsilon delta passieren.

Zitat:

So wie die Aufgabe formuliert ist macht sie keinen Sinn. Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetig ist. Offenbar gehört x = 0 nicht zum Definitionsbereich der Funktion und daher ist die Frage, ob diese Funktion dort stetig nicht sinnvoll. Ich glaube eher deine Funktion ist definiert als

Du hast schon recht, aber das ist nun mal die Aufgabenstellung.

04.12.2012, 18:55

Mazze

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Zitat:

Du hast schon recht, aber das ist nun mal die Aufgabenstellung.

Dann hat der Autor bei der Aufgabenstellung ziemlich Mist gebaut. Die 0 gehört nicht zum Definitionsbereich, damit ist die Frage nach Stetigkeit in der 0 Obsolet.

Zitat:

Und das soll mit epsilon delta passieren.

Wenn Du allein schon die Definition für Epsilon-Delta aufschreibst, solltest Du sofort sehen dass das nicht Funktioniert:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta > 0 ~ |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

So, angewendet auf deine Funktion im Punkt 0 würde das bedeuten

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta > 0 ~ |x| < \delta \Rightarrow \left|\sin\left(\frac{1}{x}\right) - \sin\left(\frac{1}{0}\right)\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Und da steckt ein richtig schön undefinierter Ausdruck drin. Wenn Du nicht mehr Informationen zur Aufgabe hast solltest Du mal den Tutor fragen was das soll.

04.12.2012, 20:04

klaus1111

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Prinzipiell kann man doch auch sagen dass wenn 1/x an f(0) unstetig ist der sinus sowieso dann auch nicht stetig ist oder?
Ich wüsste nicht was dagegen spricht, weil sin(unendlich) ist ja nicht definiert also kann es auch kein epsilon geben

04.12.2012, 20:14

Mazze

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Zitat:

sinus sowieso dann auch nicht stetig ist oder?

Der Sinus ist überall in seinem Definitionsbereich stetig. Genau das Gleiche gilt für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Daher ist Verkettung $\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ auch überall im Definitionsbereich stetig.

Zitat:

Ich wüsste nicht was dagegen spricht

Das Hauptargument ist, und das Unterschreibt dir jeder Professor, der Punkt 0 gehört nicht zum Definitionsbereich und damit ist die Frage nach Stetigkeit überflüssig. Stetig sein kann eine Funktion nur da wo sie definiert ist. Punkt.

Vielleicht hat Mystic mit seiner Einschätzung ja recht. Wir können die Aufgabenstellungen ja auch nicht erraten. Es handelt sich am Ende nur um einen kleinen Fehler desjenigen der die Aufgabe gestellt hat. Und dieser jemand sollte jetzt auch der Ansprechpartner sein.

edit:

Eventuel ist es auch hilfreich, dass Du mal die Aufgabe im original Wortlaut postest.

04.12.2012, 20:17

Mystic

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Zitat:

Original von klaus1111
Prinzipiell kann man doch auch sagen dass wenn 1/x an f(0) unstetig ist der sinus sowieso dann auch nicht stetig ist oder?
Ich wüsste nicht was dagegen spricht, weil sin(unendlich) ist ja nicht definiert also kann es auch kein epsilon geben

Nach diesem Argument könnte man dann exp(-1/x²) auch nicht für x=0 stetig ergänzen... Kann man aber !

04.12.2012, 20:22

klaus1111

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Zitat:

Nach diesem Argument könnte man dann exp(-1/x²) auch nicht für x=0 stetig ergänzen... Kann man aber !

e^(-1/x^2) ist aber nicht sin(1/x). Diese Funktionen sind ja komplett unterschiedlich.
Beim Sinus weiß ich aber, dass 1/x immer kleiner sein wird als sin(1/x), deshalb glaube ich doch, dass mein Argument aussagekräftig ist, bitte korrigiert mich fals ich falsch liege...

04.12.2012, 21:26

Mystic

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Ich bezog mich speziell auf diesen Teil deiner Aussage:

Zitat:

Original von klaus1111
Ich wüsste nicht was dagegen spricht, weil sin(unendlich) ist ja nicht definiert also kann es auch kein epsilon geben

Auch für f(x):=exp(-1/x²) gilt, dass exp(-unendlich) ja nicht definiert ist... Trotzdem macht die (nachträgliche!) Definition f(0)=0 Sinn, da f(x) damit zu einer auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetigen Funktion wird... f(x) lässt sich also, wie man auch sagt, für x=0 stetig ergänzen... Für deine Funktion ist das nicht der Fall, weil sin(1/x) in jeder Umgebung von 0 alle Werte im Intervall [-1,1] annimmt...

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