Teilbarkeit durch 7 zeigen

04.12.2012, 00:42

Gast11022013

Teilbarkeit durch 7 zeigen

Meine Frage:
Hi,

ich würde gerne die Teilbarkeit durch 7 zeigen und wollte fragen, ob das so gehen würde:

Meine Ideen:
Im Zuge einer Anwendungsaufgabe aus der Matrizenrechnung, musste ich ein mehrdeutiges LGS lösen um so die Beziehung von Produktionsmengen darzustellen.

Mein Lösungsvektor lautet

$\begin{eqnarray*} \vec{x_t}=\begin{pmatrix} \frac{10+4t}{7} \\ \frac{740-12t}{7} \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich muss also jene Werte für t finden, dass der Zähler ein vielfaches von 7 ist.
Solche Zahlen sind auch sehr schnell gefunden:

1,8,15,22,...,57

Somit sind für alle t der Form

$\begin{eqnarray*} t=1+7n , n<9 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

beide Brüche eine ganzzahlige Lösung.

Jetzt einsetzten und fertig:

$\begin{eqnarray*} \frac{10+4(1+7n)}{7}=\frac{14+28n}{7}=2+7n \frac{740-12(1+7n)}{7}=\frac{728-84n}{7}=104-12n \end{eqnarray*}$

So kann man dann auch die maximale größe dieses n zeigen, da das Endergebnis ja insgesamt eine natürliche Zahl sein muss.

Also:

$\begin{eqnarray*} 104-12n>0 n<9 \end{eqnarray*}$

Wäre sowas legitim, oder geht das auch schöner?

Vielen Dank im voraus.

Mfg

04.12.2012, 11:59

mYthos

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Meines Erachtens ist dieser Weg korrekt und auch effizient. Ob er noch "schöner" möglich ist, ist vielleicht Geschmackssache.
Mathematisch kann man gezielt über Kongruenzen ("modulo 7") gehen, das entpricht im Wesentlichen auch deinem Weg.

mY+

04.12.2012, 12:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gmasterflash (korrigiert)

$\begin{eqnarray*} \frac{10+4(1+7n)}{7}=\frac{14+28n}{7}=2+{\color{red}4}n \end{eqnarray*}$

04.12.2012, 16:00

Gast11022013

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Ok, dann hat sich das erledigt.

Der Fehler war übrigens ein Tippfehler. Augenzwinkern