Untervektorraum von R3

04.12.2012, 12:58

IckWzS

Untervektorraum von R3

Hi,

leider habe ich immer noch ein wenig Probleme mit der mathematischen Kurzschreibweise, was schon mein Verständnis der Aufgabenstellung erschwert.
Die Aufgabe lautet, Handelt es sich bei der Menge um einen Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} U = \left\{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^{n} | x + y + z = 1\right\} \end{eqnarray*}$ .

a) Sehe ich es richtig, dass es sich bei R^3 um die Menge und den Körper handelt? (Wenn ja wo steht, dass es um den Körper R^3 geht?)

b) Wenn a zutrifft, muss ich jetzt versuchen, dass Untervektorraumkriterium zu beweisen. Also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \forall a, b \in U \forall \gamma , \lambda \in K : \gamma a + \lambda b \in U \end{eqnarray*}$ . Also schauen, ob ich irgendwie aus U rausfliegen könnte, wenn ich beliebige Elemente aus K und U miteinander verknüpfe.

=> U kein Untervektorraum sein kann, da z.B

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kein Element von U wäre.

Kommt das so hin, oder steckt hier irgendwo ein elementarer Verständnisfehler, bezüglich Aufgabenstellung oder auch Untervektorräume?

Danke für jede Hilfe.

04.12.2012, 13:06

klarsoweit

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RE: Untervektorraum von R3

Zitat:

Original von IckWzS
a) Sehe ich es richtig, dass es sich bei R^3 um die Menge und den Körper handelt? (Wenn ja wo steht, dass es um den Körper R^3 geht?)

Offensichtlich geht es um R³, der über den Körper R gebildet wird.

Zitat:

Original von IckWzS
Also schauen, ob ich irgendwie aus U rausfliegen könnte, wenn ich beliebige Elemente aus K und U miteinander verknüpfe.

=> U kein Untervektorraum sein kann, da z.B

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kein Element von U wäre.

Du mußt schon darauf achten, daß du auf der linken Seite Vektoren nimmst, die auch in U enthalten sind. Augenzwinkern

04.12.2012, 13:17

IckWzS

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Upps - Keine Ahnung warum ich von 0 anstatt 1 ausgegangen bin. Hammer

Aber auch wenn ich als Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ benutzen würde und diesen mit dem gleichen Vektor wie vorher addieren würde, würde ich einen Vektor erhalten, der nicht in U ist ? Würde immer noch bedeuten, dass U kein Untervektorraum von R^3 ist.

04.12.2012, 13:38

klarsoweit

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Prinzipiell ja, aber auch der Vektor (4, 5, 6) muß dabei ein Element von U sein.

Etwas einfacher kannst du das abhandeln, indem du prüfst, ob der Nullvektor zu U gehört.
Denn bei einem Unterraum muß der Nullvektor immer dabei sein. smile

04.12.2012, 13:57

IckWzS

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Danke. Ich habe auch schon gemerkt, dass ich ziemlichen Mist geschrieben habe.
Wie du schon schreibst, gehört V=(0,0,0) nicht zur Menge U, weshalb auch U keine Untervektorraum von R^3 sein kann.

Wie würde es denn beispielsweise bei

U = $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 2t \\ -t \\ \sqrt{2}*t \end{pmatrix} \in \mathbb R^{3} | t \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ aussehen?

Da würde ich jetzt behaupten, dass es abhängig von t ist. Wenn t = 0 ihandelt es sich um einen trivialen Untervektorraum von R , ansonsten aber nicht. Liege ich da jetzt wenigstens richtig?

04.12.2012, 14:31

klarsoweit

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Auch hier unterliegst du einem Mißverständnis dessen, was da steht. U besteht aus allen Vektoren aus R³, die sich mit einem t aus R so darstellen lassen. Anders gesagt: für jedes t aus R bekommst du einen Vektor und der ist Element von U. smile

04.12.2012, 18:32

IckWzS

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Vielen Dank für die Richtigstellung. Die mathematische Schreibweise macht mir doch anscheinend noch ziemlich zu schaffen traurig

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