Äquivalenzbeweis lim sup a_n = a ...

04.12.2012, 12:22	donpain	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzbeweis lim sup a_n = a ... Hallo! Ich habe so meine Probleme mit dem folgenden Beweis: Voraussetzung: Sei $\begin{eqnarray} (a_{n} )_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ reele Folge und $\begin{eqnarray} a\in \mathbb R \end{eqnarray}$ . 1. Behauptung: $\begin{eqnarray} \limsup_{n \to \infty } a_n = a \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0: a_{n} <a+\varepsilon \end{eqnarray}$ für alle bis auf endlich viele n. 2. Behauptung: $\begin{eqnarray} \limsup_{n \to \infty } a_n = a \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ es gibt unendlich viele $\begin{eqnarray} m\in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{m} >a-\varepsilon \end{eqnarray}$ . Meine Ideen zu 1.: Hinrichtung: es gilt: $\begin{eqnarray} \limsup_{n \to \infty } a_n = a \end{eqnarray}$ dann folgt per Definition: a ist der größte Häufungswert von $\begin{eqnarray} (a_{n} )_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ daraus folgt: 1. es gibt eine Teilfolge $\begin{eqnarray} (a_{n_k})_{k\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ , die gegen a konvergiert 2. es gibt keine Teilfolge, die gegen einen Wert größer a konvergiert also gilt nach Def. Konvergenz: $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon >0\exists N\in \mathbb N \forall n\geq N:\|a_{n_k}-a \| < \varepsilon \end{eqnarray}$ So und an dieser Stelle weiß ich nicht wie ich weiter machen könnte um die Behauptung zu zeigen. Wenn ich wissen würde, dass die Folge a_n konvergiert, würde ja direkt die Behauptung folgen, aber das weiß ich ja nicht. >.< Bitte um Hilfe! Grüße

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