Stetigkeit von Funktionen

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04.12.2012, 13:47	HansImPech	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Funktionen Hallo, folgende Aufgabenstellung "Untersuchen Sie, in welchen Punkten ihres Definitionsbereiches die folgenden Funktionen stetig sind. $\begin{eqnarray} f:\mathbb R \Rightarrow \mathbb R , x \Rightarrow f(x) = \left\{ (x-3)^{-1}, x \neq 3 \right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left\{0, x=3\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g:\mathbb R \Rightarrow \mathbb R , x \Rightarrow g(x) = \left\{ \frac{x²-4}{x+2}, x \neq -2 \right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left\{-4, x=-2\right\} \end{eqnarray}$ Kann ich für f(x) einfach sagen: $\begin{eqnarray} (x-3)^{-1} \end{eqnarray}$ ist ja nichts anderes als $\begin{eqnarray} \frac{1}{x-3} \end{eqnarray}$ Sie ist an x=3 nicht stetig stetig für $\begin{eqnarray} ]-\infty, 3[ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ]3, +\infty[ \end{eqnarray}$ Wüsste nicht wie ich das hier anders zeigen kann? zur g(x) Hier würde ich einfach sagen: $\begin{eqnarray} \frac{x²-4}{x+2} = x-2 \end{eqnarray}$ und x-2 ist für alle Punkte im Defintionsbereich stetig. Wie kann ich das ganze zeigen/beweisen? Grüße
04.12.2012, 13:55	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu musst du erst mal wissen, wie Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt definiert ist. Wie habt ihr das im Unterricht definiert?
04.12.2012, 14:05	HansImPech	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, denke es wie folgt definiert: Eine funktion heißt stetig in $\begin{eqnarray} x_{0} \in D_{f} \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_{0} } f(x) = f(x_{0}) \end{eqnarray}$ Weiß aber nicht wie mich das hier weiterbringt. Grüße
04.12.2012, 23:49	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kommt daher, weil du die Definition noch nicht richtig verstanden hast. Was ist denn mit $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_{0} } f(x) = f(x_{0}) \end{eqnarray}$ wirklich gemeint? Ich schreibe die Definition mal ausführlich hin. Eine Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb D_f\rightarrow\mathbb W_f \end{eqnarray}$ ist stetig im Punkt $\begin{eqnarray} a\in\mathbb D_f \end{eqnarray}$ , falls für jede Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}a_n=a \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(a). \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(a) \end{eqnarray}$ schreibt man kurz $\begin{eqnarray} \lim_{x\to a}f(x)=f(a). \end{eqnarray}$ Das "für jede" ist hier der ausschlaggebende Punkt. Um jetzt die Stetigkeit von f in a nachzuweisen, nähern wir uns beiderseits dem Punkt a an: Also einmal rechtsseitig, d.h. von oben, indem wir beispielsweise die Folge $\begin{eqnarray} a_n=a+\frac1n \end{eqnarray}$ betrachten und uns einmal linksseitig, also von unten den Punkt a annähern, indem wir die Folge $\begin{eqnarray} a_n=a-\frac1n \end{eqnarray}$ betrachten. Wir schreiben für $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}f\left(a+\frac1n\right):=\lim_{x\searrow a}f(x) \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}f\left(a-\frac1n\right):=\lim_{x\nearrow a}f(x) \end{eqnarray}$ f ist also dann im Punkt a stetig, wenn $\begin{eqnarray} \lim_{x\searrow a}f(x)=\lim_{x\nearrow a}f(x)=f(a) \end{eqnarray}$ Das versuch jetzt mal auf dein Beispiel anzuwenden.
05.12.2012, 15:22	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
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05.12.2012, 21:00	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Das freut mich
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06.12.2012, 18:38	HansImPech	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch alles total bescheuert und macht keinen sinn jedenfalls für mich nicht kann ich x0 wählen wie ich will oder muss ich im Falle von der ersten Aufgabe 3 und der Zweiten -2 nehmen? Weil es ja im Falle der Ersten Aufgabe keinen Funktionswert für 3 geben kann und da eine Lücke ist weil $\begin{eqnarray} \frac{1}{3-3}=\frac{1}{0} \end{eqnarray}$ schlichtweg nicht definiert bzw erlaubt ist! $\begin{eqnarray} \lim_{x\to a}f(x)=f(a). \end{eqnarray}$ Damit meinst du doch das der Grenzwert der Funktion zu x0 = dem Funktionswert von x0 sein müsste damit die Funktion stetig ist. Also im Beispiel zur ersten Aufgabe: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 3}f(x)=f(3). \end{eqnarray}$ Bei der Ersten Aufgabe hätte ich: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 3^{+}}\frac{1}{x-3}=\infty. \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 3^{-}}\frac{1}{x-3}=-\infty. \end{eqnarray}$ was : $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 3^{+}}\frac{1}{x-3}=\infty \neq \lim_{x\to 3^{-}}\frac{1}{x-3}=-\infty\neq f(3) = 0 \end{eqnarray}$ somit ist diese Funktion nicht stetig? Bei der Zweiten Funktion hätten wir: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to -2}\frac{x²-4}{x+2}= \lim_{x\to -2} x-2 = -4= f(-2) = -4 \end{eqnarray}$ somit ist die Funktion stetig. Grüße
12.11.2014, 22:26	dawitt	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit Hallo Sorry dass ich den alten Thread wieder ausgrabe. Ich stehe für ein Fach im Studium vor einem ähnlichen Problem. Zu berechnen ist "in welchen Punkten die folgende Funktion stetig ist." Wir haben folgende Funktion gegeben: $\begin{eqnarray} f(x) = -x \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x < 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x > 1 \end{eqnarray}$ sonst $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ Nach einer Skizze ist mir aufgefallen dass die Funktion bis $\begin{eqnarray} x = 1 \end{eqnarray}$ stetig ist, dann unstetig, einen Sprung nach unten macht (zu $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ ) und dann erneut stetig. Da wir wissen dass sowohl der $\begin{eqnarray} -x \end{eqnarray}$ Teil als auch der $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ Teil im einzelnen stetig ist interessiert uns die Stetigkeit in den Punkten in denen die beiden Teilfunktionen (?) miteinander verbunden sein könnten (also bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ ). 1.) Stetigkeit bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ Wenn ich die vorherigen Antworten richtig verstanden habe muss ich mir zuerst eine Folge wählen die gegen 0 konvergiert. Z.B. $\begin{eqnarray} (\frac{1}{n}) \end{eqnarray}$ Der Grenzwert der Funktion angewendet auf diese Folge muss dann gleich dem Grenzwert der Funktion angewendet auf 0 sein, oder? Also: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f(\frac{1}{n})} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f(0)} \end{eqnarray}$ Was mich nun verunsichert ist dass ich mich ja von zwei Seiten an die Funktion annähern muss, oder? Heißt das jetzt ich muss für die eine Seite den $\begin{eqnarray} -x \end{eqnarray}$ Teil der Funktion annehmen und für den anderen den $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ ? Sprich: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{-(\frac{1}{n})} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(\frac{1}{n})^2} = 0 \end{eqnarray}$ 2.) Stetigkeit bei $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ stehe ich vor einem ähnlichen Problem. Als Folge würde ich $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n}) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} (1-\frac{1}{n}) \end{eqnarray}$ verwenden. Liege ich dann richtig wenn ich so rechne: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{-(1 + \frac{1}{n})} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1-\frac{1}{n})^2} = 1 \end{eqnarray}$ Es wäre nett wenn jemand das mit dem beiderseitigen annähern zum Punkt nochmal ausführen könnte. Vor allem auch in Hinsicht auf unser Beispiel mit den zwei "Teilfunktionen". Ist es überhaupt ausreichend wenn ich die Stetigkeit nur in diesen zwei Punkten untersuche? Liebe Grüße, David.
13.11.2014, 01:22	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion weist bei 0 und 1 eine Definitionslücke auf. Dort kann sich keinerlei Eigenschaften haben und insbesondere also gar nicht unstetig sein (aber auch nicht stetig)
13.11.2014, 08:31	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
@Namenloser: Nein, bei 0 und 1 wird die Funktion durch $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ beschreiben, ist also sehr wohl definiert @dawitt: Eine Folge zu untersuchen langt leider nicht Diese Bedingung müsste für alle Folgen mit Grenzwert null gelten... Das könnte anstrengend werden Ich würde hier den Ansatz über links-und rechtsseitigen Grenzwert machen Lg kgV

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