Äquivalenz

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liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz
Hallo ihr Lieben,
Hilfe wäre jetzt süß!

Aufgabe
Es sei V ein endlich dimensionaler K Vektorraum, ein Endomorphismen mit und .
Zeigen Sie:

a) und
b) und

Meine Idee:
Rückrichtung von der a)
1. Aus den Vor. folg das f, g isomorphismus ist, also insbesondere surjektiv.
2. Aus der Definition des Bildes folg
3. Daraus folgt (aus 2.) für
4. Ebenso folgt (aus 2.) für

Ich bin mir nicht sicher ob die Rückrichtung so richtig ist. Falls ja, kann mir jemand Hilfestellung zur Hinrichtung geben bzw. zur b).

Liebe Grüße
liebe_Maus
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Argumentation stimmt nicht, insbesondere ist die Behauptung schon falsch, dass es sich bei und um Isomorphismen handeln muss. Gegenbeispiel sind Koordinatenprojektionen.

Zu (a): Wir zeigen zunächst die Richtung "". Sei . Dann gibt es nach Definition des Bildes ein mit . Wie können wir das nach den Voraussetzungen an nun um irgendwie einen Zusammenhang zu zu bekommen?
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, das ich etwas später antworte. Habe noch gekocht.

Einzige Zusammenhang zu g der mir aus den Vor. einfällt, wäre das dann folgendes gelten muss:



Wäre ich damit schon auf der richtigen Spur?

Apropos, ich weiß leider nicht was eine Koordinatenprojektion ist, da der Begriff noch nicht in der Vorlesung gefallen ist (google sagt auch nicht dazu) , aber vielleich kannst du meinen Denkfehler aufdecken. Ich dachte mir da V endlich dimensional ist und f ung g jeweils ein Endomorphismen sind, folgt doch daraus, das die Dimensionen des Ausgangsraum und des Zielraumes gleich sind. Daraus folg das die Abbildung bijektiv ist. Da die Abbildungen ein Endomorphismen sind, sind sie insbesondere Homomorphismen und definitionsgemäß ist doch ein Homomorphismus, der bijektiv ist dann ein Isomorhismus.
Das wäre mal meine Überlegung dazu!

Liebe Grüße
liebe_Maus
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von liebe_Maus


Wäre ich damit schon auf der richtigen Spur?

Genau, denn damit hast Du ja gezeigt, dass .

Wie sieht es mit der umgekehrten Inklusion der Bildmengen aus?

Sorry, ich hätte mich verschrieben und meinte eigentlich orthogonale Projektionen. Um Dir das nur mal rein geometrisch zu veranschaulichen: Stell Dir die Abbildung vor, die Vektoren in
auf die -Achse projiziert. Wenn man zweimal projiziert, ändert sich nichts mehr, d.h. ist ein Endomorphismus mit aber sicher kein Isomorphismus.

Zu Deiner Überlegung: die bloße Endomorphismeneigenschaft sagt noch nichts über Dimensionen aus! Das von mir vorgestellte Beispiel stellt einen Endomorphismus eines zweidimensionalen Raums Dar, dessen Bild aber eindimensional ist.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir ein Tipp für die Rückrichtung geben.
Mein Ansatz wäre, das aus der Definition des Bildes folgt:
MatheMan92 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich mach grad die gleiche Aufgabe Big Laugh und ich hätte jetzt einfach unser bekanntes eingesetzt:

, da folgt

, somit ist und damit
 
 
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Hey echt cool von dir.
Hast du vielleicht auch was zur Rückrichtung?
Da komme ich noch nicht weiter

Hehe, es kann sein, das wir vielleicht zur selben Uni gehen!
MatheMan92 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann sein, bin in Würzburg Big Laugh

Rückrichtung? Im Prinzip kannst du den ganzen Vorgang nochmal ausgehen von zeigen, kommt man aufs Gleiche, ist aber nur unnötige Schreibarbeit in meinen Augen.
Aber wie gesagt, hänge selber an der Aufgabe, sprich ich kann keine Antworten geben, die mit Sicherheit zu 100% richtig sind Big Laugh kann gut sein, dass was falsch ist, oder fehlt.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Können wir aber einfach aus der Rückrichtung von der komposition ausgehen. Ich meine unsere einzigen Kompositionen, die uns zu Verfügung stehen, sind unsere Projektionen.

Übrigens, Bingo! Wir beide besuchen die Vorlesung beim Steuding :-)
MatheMan92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde schon, das passiert ja jetzt analog zu wofür wir für das gezeigt haben, dass
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich probiere es mal aus und melde mich gleich zurück!
MatheMan92 Auf diesen Beitrag antworten »

Da müsstest du ja jetzt rausbekommen, dass für zB Bild gleich Bild ist.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt wir nehmen uns die Abbildungen und komponieren sie zu .
Anschließend wissen wir das gilt . Und wie genau wollen wir dann daraus folgen das dann gilt ?
Ich hab das schon einen ähnlichen Ansatz vorher versucht und kamm zu einen Zirkelschluss.
MatheMan92 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich hatte gemeint, dass du zwar ruhig benutzen kannst, aber dann setzt und somit zeigst, dass , und damit wieder auf die Gleicheit der Bilder schließt, so hast du die Inklusion von beiden Seiten gezeigt.
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht meinst du das gerade, aber kann ich sagen wenn dann ist aufgrund der Gleichheit des Bildraumes, also , dann und somit

Wahrscheinlich geht das dann nach den selben Prinzip auch für .

Hast du auch zu b) eine Idee?
MatheMan92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja so meinte ich das.

Zur b) ähnlich


Keine Garantie auf die Richtigkeit Big Laugh
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMan92



Sofern es Plausibel es, dürfte es eine Garantie dafür geben ;-)

Vielleicht stell ich mich blöd an, aber wir kommst du auf den Schluss. Leuchtet mir leider nicht gerade ein.
MatheMan92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß grad garnicht, wo du die Aussage her hast Big Laugh hatte doch was ganz anderes geschrieben
liebe_Maus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheMan92
Ich weiß grad garnicht, wo du die Aussage her hast Big Laugh hatte doch was ganz anderes geschrieben


Sry, das ich etwas spät anworte.
Du hast ja oben geschrieben das , aber du meintest sicher
und nicht .
MatheMan92 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ich meinte schon das, was ich geschrieben hab Big Laugh So wie dus korrigiert hast, hab ichs auch nicht mehr verstanden :P ist ja nichts anderes als ein Bild und da ist, ist
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Leider sind Eure Ansätze nach meiner letzten Antwort nicht zielführend.

Zitat:
Original von MatheMan92
, da folgt

, somit ist und damit

Hier behauptest Du, . Das ist natürlich i.a. nicht richtig!

Zitat:
Original von MatheMan92


Keine Garantie auf die Richtigkeit Big Laugh

Auch das ergibt nicht viel Sinn. Die erste Gleichung besitzt die Form "Menge = Element" und bei der zweiten Gleichung gehst Du davon aus, dass injektiv ist, was im allgemeinen auch nicht stimmt, ebenso wie die abschließende Folgerung (um die es in der Aufgabe auch gar nicht geht) völlig vom Himmel fällt. unglücklich

Also mal Schritt für Schritt zunächst die (a). Zu Beginn haben wir gezeigt, dass die Inklusion impliziert. Man zeigt nun genauso, dass auch die umgekehrte Mengeninklusion gilt. Macht Euch nochmal klar, was da genau passiert ist.

Die Gleichungen bedeuten, dass auf der Bildmenge von f die Identität ist (ebenso auf der Bildmenge von ), aber es gilt natürlich nicht, dass und auf dem ganzen Raum jeweils die Identität sind (geschweige denn überhaupt gleiche Abbildungen).

Jetzt geht es um die umgekehrte Implikation aus (a). Für ein beliebiges wollen wir erstmal zeigen, dass .

Sei also . Da , gibt es ein mit . Wie können wir nun weitermachen? Bedenkt, dass Ihr noch von einer weiteren Voraussetzung an die Endomorphismen ausgeht, nämlich und .
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