Polynom über F2

04.12.2012, 17:25	nicholas	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom über F2 Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} f = x^{3} + x^{2} + x + 1 \in \mathbb{F}_{2}[x] \end{eqnarray}$ . 1) Zeigen Sie, dass f irreduzibel ist. 2)Bestimmen Sie die Elemente des Körpers $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{8}:= \mathbb{F}_{2}[x]/(f) \end{eqnarray}$ 3) Sei $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb{F}_{8} \end{eqnarray}$ eine NS von f. Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} (1 + \alpha^{2})^{-1} \end{eqnarray}$ 4) Schreiben Sie f als Produkt von irreduziblen Faktoren (über dem neuen Körper) 5) Bestimmen Sie die multiplikative Ordnung von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ Meine Ideen: 1) f hat keine Nullstellen in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{2} \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} 0, 1, x, x+1, x^{2}, x^{2}+x, x^{2}+1, x^{2}+x+1 \end{eqnarray}$ 3) Mir ist nicht klar, was diese Nullstelle ist. f hat ja drei Nullstellen. Aber ich weiß nur sicher, dass x eine ist. Soll ich da einfach x nehmen? Dann hab ich durch ausprobieren rausgekriegt, dass $\begin{eqnarray} x^{2}+x+1 \end{eqnarray}$ das Inverse ist... 4)Ich bin mir nicht sicher, wie man in so nem Polynomrestklassenring rechnen muss...Mit Polynomdivision bin ich auf $\begin{eqnarray} f = (X-x) \cdot ( X^{2} + ( 1 + x) X + ( 1 + x + x^{2} ) \end{eqnarray}$ gekommen, wobei x die bekannte Nullstelle und X die neue unbestimmte ist... Dar man jetzt X=x annehmen oder wie? Dann käme da $\begin{eqnarray} X^{2}+1 \end{eqnarray}$ raus. Aber das ist über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{2} \end{eqnarray}$ bestimmt nicht irreduzibel...Also muss das falsch sein. 5) Also die Ordnung von x ist 4, wie das aber mit möglichen anderen NS aussehen würde weiß ich nicht...
04.12.2012, 17:28	nicholas	Auf diesen Beitrag antworten »
upps, beim f muss das x weg!
04.12.2012, 19:17	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} f=x^3+x^2+1 \end{eqnarray}$ ? 1) und 2) sind richtig. Zu 3) f zerfällt in der Tat schon in $\begin{eqnarray} \mathbb F_8 \end{eqnarray}$ . Das sieht man daran, dass mit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \alpha^2 \end{eqnarray}$ (und somit auch $\begin{eqnarray} \alpha^4 \end{eqnarray}$ ) Nullstelle ist. Ist $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ Nullstelle, so ist dann $\begin{eqnarray} 1+\alpha^2 = \alpha^3 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} (1+\alpha^2)^{-1} = \alpha^{-3} = \alpha^n \end{eqnarray}$ . Was $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist, findest du in Aufgabenteil 5) heraus Zu 4) Sollte mit der Information aus 3) kein Problem mehr sein. Zu 5) Glücklicherweise haben alle Nullstellen (sowieso alle Elemente aus $\begin{eqnarray} \mathbb F_8^ \end{eqnarray*}$ ) dieselbe Ordnung. Die ist aber nicht 4.
10.12.2013, 15:35	Nici 5	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie komm ich auf die Elemente aus 2) kann das nicht wirklich nachvollziehen und muss sowas aehnliches machen?

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