Reihenwert der Zeta-Funktion - 1

04.12.2012, 19:46

Tenacious

Reihenwert der Zeta-Funktion - 1

Hallo,

ich soll folgendes zeigen:

"Die Funktion $\begin{eqnarray*} \zeta (k) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} k > 1 \end{eqnarray*}$ definiert und wird als Riemannsche Zeta-Funktion bezeichnet.
Man zeige $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty (\zeta (k) -1) = 1 \end{eqnarray*}$ "

Irgendwie komme ich mit der Doppelsumme nicht so wirklich zurecht. Wie vereinfache ich:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty (\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} -1) \end{eqnarray*}$ ?

04.12.2012, 19:50

HAL 9000

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Na zunächst mal zu

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$ ,

Und nun kannst du ja mal über eine Vertauschung der Summation nachdenken.

04.12.2012, 20:17

Tenacious

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Okay dann hab ich ja:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$

Und die rechte Summe müsste dann eine geometrische Reihe sein also bleibt am Ende:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac {n}{n-1} \end{eqnarray*}$

Bin ich soweit auf dem richtigen Weg?

04.12.2012, 20:38

HAL 9000

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Es ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{n^k} = \frac {n}{n-1} \end{eqnarray*}$ , ja.

Hier geht es aber um $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$ , d.h. einen anderen Startindex !!!

04.12.2012, 20:54

Tenacious

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Ja das mit dem Index ist mir auch aufgefallen aber ich war der Meinung der Startindex würde keine Rolle spielen bei der geometrischen Reihe. Was bringt mir dann also die Vertauschung?

04.12.2012, 20:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tenacious
aber ich war der Meinung der Startindex würde keine Rolle spielen bei der geometrischen Reihe.

Wer hat dir denn das erzählt??? Es mag keine Rolle spielen bei der Grundsatzfrage Konvergenz/Divergenz der Reihe, aber für den eigentlichen Reihenwert im Konvergenzfall ist es selbstverständlich wichtig!

04.12.2012, 23:20

Tenacious

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Hat mir niemand erzählt, war grad einfach ein Denkfehler meinerseits.
Was bringt nun die Vertauschung der Summationen?

05.12.2012, 07:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tenacious
Was bringt nun die Vertauschung der Summationen?

Es hat auch keiner was von einem Neustart gesagt. unglücklich

Das mit der geometrischen Reihe bei der inneren k-Summation ist richtig, du hast aber den Reihenwert falsch ausgerechnet. Und nun sollst du das lediglich korrigieren - dass man da aber auch so lange drüber palavern muss ...

05.12.2012, 09:16

Tenacious

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Zitat:

Original von HAL 9000
- dass man da aber auch so lange drüber palavern muss ...

Immer mit der Ruhe...hab doch einfach etwas Geduld mit einem Studienanfänger Augenzwinkern

Okay also verschiebe ich den Startindex und habe dann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{n^k} - \frac {1}{n} -1 = \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{n}{n-1} - \frac{1}{n}-1 = \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$

Und das müsste dann den Reihenwert 1 haben.

Ist das richtig? (Bevor wir wieder aneinander vorbeireden)

05.12.2012, 09:23

Jello Biafra

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Zitat:

Original von Tenacious

Und das müsste dann den Reihenwert 1 haben.

Ist das richtig?

Ja, das ist richtig! (von fehlenden Klammern mal abgesehen...)

Da steht jetzt ja schließlich eine Teleskopreihe.

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