Vektorraumstruktur der Menge aller m x n Matrizen

04.12.2012, 20:05

Tenacious

Vektorraumstruktur der Menge aller m x n Matrizen

Hallo,

also die Aufgabe ist die Folgende:

"Für eine Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ bezeichne $\begin{eqnarray*} K^{m\times n}:= \{ A = (a_{ij}) : a_{ij} \in K \} \end{eqnarray*}$ die Menge der $\begin{eqnarray*} m \times n \end{eqnarray*}$ Matrizen mit Einträgen in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

Man beschreibe auf $\begin{eqnarray*} K^{m\times n} \end{eqnarray*}$ eine K-Vektorraumstruktur und gebe für diesen Vektorraum eine Basis B an. Wie viele Elemente hat B?"

Als Tipp steht dort noch: "Es gibt auf $\begin{eqnarray*} K^{m\times n} \end{eqnarray*}$ eine ziemlich offensichtliche K-Vektorraumstruktur, die dann in Analogie zu dem
in der Vorlesung Gesagten die Vektorraumaxiome erfüllt. Wenn diese gewählt wird, dann müssen die Axiome nicht überprüft
werden."

Könnt ihr euch vorstellen von welcher Struktur in dem Tipp die Rede ist?

05.12.2012, 18:49

Tarnfara

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RE: Vektorraumstruktur der Menge aller m x n Matrizen
Mach erstmal ein paar kleine Beispiele, um ein Gefühl für diesen Vektorraum zu bekommen.

Dafür eignen sich beispielsweise die $\begin{eqnarray*} 2 \times 2 \end{eqnarray*}$ Matrizen.

Was zeichnet denn einen Vektorraum aus? Eine skalare Multiplikation und eine Vektoraddition. Deine Vektoren sind jetzt eben Matrizen, wie könnte man die denn addieren und mit Skalaren (die aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ kommen müssen) multiplizieren, so dass die Rechenregeln ,,vernünftig" funktionieren (mathematisch: Die Vektorraumeigenschaften erfüllen).

Die nächste Frage würde sich dann um das nachfolgende drehen:

Wenn ich mir eine beliebige Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}<br /> a & b \\<br /> c & d \\<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
anschaue, wie kann ich die als Linearkombination von anderen Matrizen schreiben?

05.12.2012, 20:37

Tenacious

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RE: Vektorraumstruktur der Menge aller m x n Matrizen

Zitat:

Original von Tarnfara
Was zeichnet denn einen Vektorraum aus? Eine skalare Multiplikation und eine Vektoraddition. Deine Vektoren sind jetzt eben Matrizen, wie könnte man die denn addieren und mit Skalaren (die aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ kommen müssen) multiplizieren, so dass die Rechenregeln ,,vernünftig" funktionieren (mathematisch: Die Vektorraumeigenschaften erfüllen).

Also in meinem Vorlesungsskript steht folgendes zu den Vektorraumeigenschaften:
(i) V ist abelsche Gruppe bzgl. +
(ii) Es gilt das Distributivgesetz
(iii) Skalare Multiplikation ist assoziativ
(iv) $\begin{eqnarray*} 1 \cdot v = v \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall v \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \in K \end{eqnarray*}$

Dann würde das für Matrizen folgendes heißen:

(i) Wenn ich mich nicht irre heißt dass einfach nur dass das Kommutativgesetz der Addition gilt oder? Und das gilt ja für Matrizen, da diese Komponentenweise addiert werden.

(ii) Das gilt auch für Matrizen

(iii) Da bin ich mir nicht ganz sicher wie das aussehen soll

(iv) Die Rolle des neutralen Elements wird ja dann sicherlich die Einheitsmatrix spielen

Wenn ich diese 4 Bedingungen gezeigt habe, habe ich dann schon die Vektorraumstruktur beschrieben?

06.12.2012, 13:40

Tarnfara

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RE: Vektorraumstruktur der Menge aller m x n Matrizen

Zitat:

Original von Tenacious

Also in meinem Vorlesungsskript steht folgendes zu den Vektorraumeigenschaften:
(i) V ist abelsche Gruppe bzgl. +
(ii) Es gilt das Distributivgesetz
(iii) Skalare Multiplikation ist assoziativ
(iv) $\begin{eqnarray*} 1 \cdot v = v \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall v \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \in K \end{eqnarray*}$

Dann würde das für Matrizen folgendes heißen:

(i) Wenn ich mich nicht irre heißt dass einfach nur dass das Kommutativgesetz der Addition gilt oder? Und das gilt ja für Matrizen, da diese Komponentenweise addiert werden.

Für eine abelsche Gruppe reicht das noch nicht.
- Werden zwei Matrizen desselben Typs addiert, soll wieder eine Matrix dieses Typs herauskommen.
- Es gibt eine Matrix, die die Rolle der 0 übernimmt.
- Zu jeder Matrix findet man eine Matrix, so dass deren Summe die 0-Matrix ist.

Zitat:

(ii) Das gilt auch für Matrizen

Vorsicht. Ob das gilt oder nicht gilt, hängt davon ab, wie man die Multiplikation definiert. Du mußt dir erstmal klar werden, was denn $\begin{eqnarray*} \lambda A \end{eqnarray*}$ sein soll für eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$
Und die Distributivgesetze anschließend verifizieren.

Zitat:

(iii) Da bin ich mir nicht ganz sicher wie das aussehen soll

Naja, definiere eine Multiplikation, so dass $\begin{eqnarray*} (\lambda_1\cdot_K \lambda_2)\cdot_{\text{Matrix}}A = \lambda_1 \cdot_K (\lambda_2 \cdot_{\text{Matrix}} A) \end{eqnarray*}$ ist. Hierbei soll der Index verdeutlichen, dass die eine Multiplikation, die vorgegebene Multiplikation in deinem Körper und die andere die skalare Mult. ist, die du definieren sollst.

Zitat:

(iv) Die Rolle des neutralen Elements wird ja dann sicherlich die Einheitsmatrix spielen

Ein Vektorraum hat nicht unbedingt (in der Regel nicht) eine innere Multiplikation, innen bedeutet hierbei, dass die Multiplikation zwei Vektoren wieder zu einem Vektor macht (so wie die Addition). Deswegen muss man auch kein multiplikatives neutrales Element suchen.
Die ,,1" in der Definition meint die ,,1" deines Körpers. Wenn es dir schwer fällt, diese Dinge auseinanderzuhalten, dann stell dir für K einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ vor.

Mit der Bedingung ist gemeint, dass $\begin{eqnarray*} 1 \cdot_{\text{Matrix}} A = A \end{eqnarray*}$ sein soll.
Du könntest sonst zum Beispiel einfach sagen $\begin{eqnarray*} \lambda A = 0 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aus deinem Körper. Da wären auch alle Eigenschaften erfüllt, aber es ist sofort klar, dass eine Multiplikation, die so definiert wird, für niemanden besonders interessant ist und auch nicht die Realität abbildet, aus der diese Begriffe kommen. Daher sorgt die ,,1" - Bedingung dafür, dass die Definition keine ,,sinnlosen" Strukturen zulässt.

Zitat:

Wenn ich diese 4 Bedingungen gezeigt habe, habe ich dann schon die Vektorraumstruktur beschrieben

Ja, wenn du die Addition und skalare Multiplikation sauber definierst und dann die Vektorraumeigenschaften nachweist, dann hast du gezeigt, dass die Matrizen zusammen mit den Abbildungen einen Vektorraum bilden.

06.12.2012, 16:44

Tenacious

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Danke für die ausführlichen Erklärungen smile

Damit sollte ich den Rest alleine schaffen.

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