Abschätzung Norm mit Matrixexponentialfunktion

05.12.2012, 09:40	Mandelbrötchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung Norm mit Matrixexponentialfunktion Hallo zusammen, mich beschäftigt seit kurzem folgendes Problem, für das ich leider keine ordentliche Lösung sehe: Sei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R^{n \times n} \end{eqnarray}$ und für alle Eigenwerte von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ gelte $\begin{eqnarray} \Re ( \lambda ) \ne 0 \end{eqnarray}$ . Dann soll $\begin{eqnarray} \forall x \in \mathbb R^n \setminus \{0\} \end{eqnarray}$ folgendes gelten: $\begin{eqnarray} \\| e^{At}x \\| \longrightarrow \infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} t \rightarrow - \infty \end{eqnarray}$ Nun zu dem was ich bisher an Ideen habe: Ich dachte an eine Abschätzung von $\begin{eqnarray} \\| e^{At}x \\| \end{eqnarray}$ nach unten (eine andere Abschätzung macht für das vorliegende Problem letztlich auch keinen Sinn). Dafür habe ich folgenden Vorschlag bekommen: $\begin{eqnarray} \\| e^{At}x \\| \ge \frac{ \\| x \\| }{ \\| (e^{At})^{-1} \\| } = \frac{ \\| x \\| }{ \\| e^{-At} \\| } \end{eqnarray}$ Sehe aber auch hier noch nicht so ganz wie ich damit weiter arbeiten kann, da ja $\begin{eqnarray} \\| e^{-At} \\| = \sup_{\\|x\\|=1} \\|e^{-At}x\\| \end{eqnarray}$ , was ich im Nenner doch nicht mehr weiter nach oben abschätzen kann, um meinen Bruch zu verkleinern. Dass ich $\begin{eqnarray} \\| x \\| \end{eqnarray}$ abschätzen sollte sehe ich nicht direkt, da das ja letztlich nichts anderes als ein konstanter Wert für $\begin{eqnarray} t \rightarrow \pm \infty \end{eqnarray}$ ist. So und nun weiß ich nicht mehr weiter. Ist nicht viel was ich bisher herausbekommen habe, ich weiß. Eventuell ist die weitere Lösung offensichtlich und ich stehe nur auf dem Schlauch, seh aber einfach kein Vorankommen. Deswegen hoffe ich, dass mir wer einen Stupser in die richtige Richtung geben kann. Vielen Dank! Mandelbrötchen

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