Faktorräume - lineare Unabhängigkeit

05.12.2012, 10:46

Naryxus

Faktorräume - lineare Unabhängigkeit

Hallo,

ich komme mit den Faktorräumen noch nicht wirklich zurecht.

Im Prinzip und anschaulich hab ich ja verstanden, dass ein Faktorraum ein um ein Untervektorraum verschobener Vektorraum ist, beispielsweise eine Gerade im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ die nicht durch den Ursprung geht.

Wenn ich nun einen Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ habe. Was beinhaltet dann jetzt genau $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ ?
Ja ich weiß, die Äquivalenzklassen.
Nur was sind jetzt beispielsweise meine Äquivalenzklassen von $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} V = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U = \{ \lambda (1, 1)^T : \lambda \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray*}$ ?
Enthält dann jeweils eine Äquivalenzklasse eine Menge von Punkten einer Gerade?

Und wie kann ich jetzt linear unabhängige Vektoren aus einem Faktorraum $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ erhalten? Also was muss dazu gelten? Müssen dann alle Vektoren innerhalb der Äquivalenzklasse linear unabhängig sein?

Eine Aufgabe ist nämlich zu entscheiden, wenn ich
$\begin{eqnarray*} \tilde{v_1}, ..., \tilde{v_n} \in V/U \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Vektoren habe, ob dann auch $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_n \in V \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind?

Und umgekehrt, wenn ich $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_n \in V \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Vektoren habe, ob dann auch $\begin{eqnarray*} \tilde{v_1}, ..., \tilde{v_n} \in V/U \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Ich habe keinen Schimmer, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
Kann mir jemand helfen?

05.12.2012, 13:54

Ibn Batuta

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Betrachten wir erstmal diesen Fall:

Zitat:

Und umgekehrt, wenn ich $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_n \in V \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Vektoren habe, ob dann auch $\begin{eqnarray*} \tilde{v_1}, ..., \tilde{v_n} \in V/U \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Was passiert denn, wenn $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$ liegen?

Ibn Batuta

05.12.2012, 14:14

Naryxus

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Hmm... Dann müsste doch in jedem $\begin{eqnarray*} \tilde{v_1}, ..., \tilde{v_n} \end{eqnarray*}$ jeweils $\begin{eqnarray*} v_i + v_1, ..., v_i + v_n \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall enthalten sein oder?

Heißt das dann, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} \tilde{v_1}, ..., \tilde{v_n} \end{eqnarray*}$ nicht linear unabhängig sind, weil ich in jedem $\begin{eqnarray*} \tilde{v_i} \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_n \end{eqnarray*}$ enthalten sind?

Grüße

05.12.2012, 19:02

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Naryxus
Hmm... Dann müsste doch in jedem $\begin{eqnarray*} \tilde{v_1}, ..., \tilde{v_n} \end{eqnarray*}$ jeweils $\begin{eqnarray*} v_i + v_1, ..., v_i + v_n \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall enthalten sein oder?

Das verstehe ich gar nicht. Was soll denn $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ sein? Es ist fast schon trivial. Was gilt denn, wenn $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, ... , v_n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ sind?

05.12.2012, 21:10

Naryxus

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Ich weiß leider echt nicht, wodrauf du hinaus möchtest... Erstaunt1

Wenn $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_n \in U \end{eqnarray*}$ sind, dann ist $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_n \in V \cap U \end{eqnarray*}$ .

Und da $\begin{eqnarray*} \tilde{v} := \{v + U : v \in V \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V/U := \{\tilde{v} : v \in V \} \end{eqnarray*}$ ist, ist in $\begin{eqnarray*} \tilde{v_1} \end{eqnarray*}$ beispielsweise $\begin{eqnarray*} 2v_1 \end{eqnarray*}$ enthalten...

Aber ich bekomme leider die Verbindung zur linearen Un-/Abhängigkeit hin...

06.12.2012, 10:50

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Naryxus
Ich weiß leider echt nicht, wodrauf du hinaus möchtest... Erstaunt1

Das verstehe ich alles gar nicht, was du da zusammenschreibst. Ehrlich.

Wenn alle $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \in U \end{eqnarray*}$ sind, dann sind doch auch alle $\begin{eqnarray*} [v_1],...,[v_n] \end{eqnarray*}$ nämlich was?

Ibn Batuta

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