Linearität, Stabilität und Komplexität von Funktionen überprüfen

05.12.2012, 11:00

Frozenlife

Linearität, Stabilität und Komplexität von Funktionen überprüfen

Hallo,

habe bei folgenden Funktionen noch kleinere Probleme die Linearität (Linear oder nicht Linear), Stabilität (Bibo oder Instabil) und Komplexität (Komplex oder Reell) zu überprüfen und hoffe, dass Ihr mir weiterhelfen könnt.:

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} y[n] = \sqrt{x[n]} \end{eqnarray*}$
Beispiel:

$\begin{eqnarray*} y[n] = y[n+2] - x[n+1] \end{eqnarray*}$
Beispiel:

$\begin{eqnarray*} y[n] = 3 + \sum_{k=-3}^{+3} x[n-2k] \end{eqnarray*}$

So, woran ich zurzeit noch scheitere sind ab und zu (simple) Beweise für Bibo Stabilität (beschränktes Eingangssignal -> beschränktest Ausgangssignal) und Linearität. Und ob ich Komplexität einfach durch meine Argumentation anschreiben kann, weiß ich auch nicht?

Beispiel:
Linearität:
$\begin{eqnarray*} y_a[n] = \alpha\sqrt{x_1[n]} + \beta\sqrt{x_2[n]} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_b[n] = \sqrt{\alpha x_1[n] + \beta x_2[n]} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_a[n] \neq y_b[n] => nicht~linear \end{eqnarray*}$

Bibo Stabilität:
?

Komplex:
Ja, da x[n] negativ sein kann.
Beispiel:
Linearität:
$\begin{eqnarray*} y_a[n] = \alpha(y[n+2]+x_1[n+1]) - \beta(y[n+2]+x_2[n+1]) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_b[n] = (y[n+2]-\alpha x_1[n+1]) + (y[n+2]-\beta x_2[n+1]) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_a[n] \neq y_b[n] => nicht~linear \end{eqnarray*}$

Bibo Stabilität:
Nein, da Summe von - Unendlich bis + Unendlich von Betrag der Impulsantwort (ausgerechnet über z-Transformation) NICHT kleiner Unendlich ist. (Das sollte stimmen).

Komplex:
Nein, keine komplexen Terme.
Beispiel:
Linearität:
Nein. Kann man wie die vorigen Beispiele hoffentlich Beweisen?!

Bibo Stabilität:
?

Komplex:
Nein, da keine komplexen Terme.

Hoffe Ihr könnt mir dabei ein wenig helfen. Danke!

MfG

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