Vektorraum der Polynome

05.12.2012, 14:31	Kolias	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum der Polynome Meine Frage: Hallo Leute, ich hab ein Problem. Mein Aufgabe lautet eine Basis vom Kern und Bild der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi_g \colon K[x] \longrightarrow K[x] \text{ mit } f(x) \longmapsto r(x) \end{eqnarray}$ , wobei r(x) der eindeutig bestimmte Rest ist, der bei der Division mit Rest von f(x) und einem festen g(x) entsteht. Meine Ideen: Mein erstes Problem ist, dass $\begin{eqnarray} dim_K(K[x])=\infty \end{eqnarray}$ und ich somit nicht weiß, ob sich die Dimensionssätze auch auf diesen Fall übertragen. Zweitens gilt ja Folgendes: $\begin{eqnarray} 0=\varphi_g(f(x))=r(x) \, \Longleftrightarrow \, g(x) \ \Big\vert \ f(x) \end{eqnarray}$ . Was bedeutet aber nun diese Teilbarkeitsaussage in Vektorräumen? Da haben wir doch nur die skalare Multiplikation. Hoffe mir kann einer meinen Denkfehler erklären. LG
05.12.2012, 18:52	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum der Polynome (edit: quatsch entfernt, hab nicht richtig hingeguckt) wenn du teilst betrachtest du den ring der polynome über den körper, du brauchst ja eben ne multiplikation. IK[x] wird somit zu einer algebra (vektorraum + innere, mit den anderen verknüpfungen verträgliche, multiplikation) und du kannst auch hier teilen (mit rest). lg

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