Geometrische Beweise

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Beweise
Hi!

Und ein letzter Thread zu diesem Thema - ich mache nur einen Thread auf mit mehreren Fragen, weil die Fragen nur sehr kurz sind!

1. Mithilfe von Vektoren soll bewiesen werden, dass in jedem Trapez die Mittellinie parallel zu den Grundseiten und halb so lang wie deren Summe ist.

Bewiesen habe ich, dass die Mittellnie halb so lang wie die Summe der Grundseiten ist. Aber wie kann ich die Parallelität zeigen?

2. Es soll bewiesen werden, dass jedes Sehnenviereck mit vier gleich langen Seiten ein Quadrat ist. Habe ich gemacht. Gibt es aber unter den Sehnenvierecken Parallelogramme, die keine Rechtecke sind? Ich würde sagen nein, aber es fällt mir kein Gegenbeispiel ein.

3. Seien k1 und k2 zwei konzentrische Kreise um M. A und C liegen auf k1 und B und D auf k2 Die Strecken und schneiden sich in M. Zu zeigen: .

Wie kann ich da rangehen???

Danke für eure Hilfe und eure Antworten Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn und die parallelen Seiten des Trapezes sind, dann sind



linear abhängig. Hast du das in deiner Rechnung berücksichtigt?
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

1)
parallelität folgt aus

2) im sehnenviereck hast du und im parallelogramm

3) SWS, je eine seite ist einer der beiden radien, und sie schließen denselben winkel ein.
werner
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: Meinst du meinen Beweis zu der Summe??? Ich würde gerne eine Skizze reinstellen, aber ich kann das leider nicht. Mein Trapez ist ein Trapez mit den Eckpunkten A,B,C und D, wobei die Seiten a und c parallel sind.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst einen vektoriellen "Beweis" zu suchen.

Wenn die Mitte von und die Mitte von ist, dann gilt doch



Hast du das bereits?
Und an dieser Gleichung kann man alles ablesen.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wernerrin
1)
parallelität folgt aus

2) im sehnenviereck hast du und im parallelogramm

3) SWS, je eine seite ist einer der beiden radien, und sie schließen denselben winkel ein.
werner


@Werner:
1) Kann ich das so einfach machen? Die Idee hatte ich ja auch schon, aber reicht das für einen Beweis???

2) Ich habe die Aussage gezeigt, in de, ich geschlussfolgert habe, dass ein Sehnenviereck mit vier gleich langen Seiten nur eine Raute oder ein Quadrat sein kann. Weil aber alle Winkel 90 Grad haben, muss es ein Quadrat sein. Oder meinst du etwas anderes mit deiner Aussage?

3) Reicht das für einen Beweis?

Danke für die Antworten!!! Wink
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Du scheinst einen vektoriellen "Beweis" zu suchen.

Wenn die Mitte von und die Mitte von ist, dann gilt doch



Hast du das bereits?
Und an dieser Gleichung kann man alles ablesen.


@Leopold: Diesen Ansatz habe ich auch schon. Wie gesagt, ist der Teil des Beweises schon abgeschlossen. Ich bracuhe nur noch die Parallelität zu zeigen. Reicht werners vorschlag für den Beweis???
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest jetzt erst einmal sagen, was für eine Sorte von Beweis du suchst:

- einen elementargeometrischen?
- einen vektoriellen?

Und welche Voraussetzungen bringst du ein? Kongruenz? Symmetrie? Viereckslehre?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
Zitat:
Original von Leopold
Du scheinst einen vektoriellen "Beweis" zu suchen.

Wenn die Mitte von und die Mitte von ist, dann gilt doch



Hast du das bereits?
Und an dieser Gleichung kann man alles ablesen.


@Leopold: Diesen Ansatz habe ich auch schon. Wie gesagt, ist der Teil des Beweises schon abgeschlossen. Ich bracuhe nur noch die Parallelität zu zeigen. Reicht werners vorschlag für den Beweis???


Da steckt doch die Parallelität bereits drin! Du bist bereits fertig.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Du solltest jetzt erst einmal sagen, was für eine Sorte von Beweis du suchst:

- einen elementargeometrischen?
- einen vektoriellen?

Und welche Voraussetzungen bringst du ein? Kongruenz? Symmetrie? Viereckslehre?


Sorry, die Schlußfolgerung mit der Parallelität verstehe ich leider nicht. Wie kann man das denn begründen? Vielleicht so:
Wenn die Mittellinie parallel sein soll zu den Grundseiten, muss sie eine Linearkombination der Grundseiten sein, d.h. linear abhängig sein, also


oder


Nun kann ich aber auch beide Seiten miteinander addieren, ändert ja nichts an der Eigenschaft, da die Grundseiten ja schon nach Voraussetzung parallel, d.h. linear abhängig sind.

Ich soll einen vektoriellen Beweis angeben!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zitiere mich ja ungern selber:

Zitat:
Original von Leopold
Wenn und die parallelen Seiten des Trapezes sind, dann sind



linear abhängig. Hast du das in deiner Rechnung berücksichtigt?


Aber genau darauf hatte ich dich bereits hingewiesen.
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, tut mir sehr leid. Hab ich nicht den Zusammenhang gesehen Hammer

Ist meine Begründung so richtig wie oben angegeben???
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
Oh, tut mir sehr leid. Hab ich nicht den Zusammenhang gesehen Hammer

Ist meine Begründung so richtig wie oben angegeben???


also sind beide parallel
werner
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön wernerrin Wink Kannst du mir bitte nochmal nen Kommentar zu (2) geben, was ich bereits oben gepostet habe. Wäre sehr nett!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vektorraum
Dankeschön wernerrin Wink Kannst du mir bitte nochmal nen Kommentar zu (2) geben, was ich bereits oben gepostet habe. Wäre sehr nett!


habe ich doch schon oben, aber ich wiederhole (eh) mich gerne, sagen meine fans Big Laugh

im sehnenviereck hast du

und im parallelogramm


na was bleibt da übrig, wenn du einsetzt verwirrt
werner
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

@wernerin:

Sorry, ich steh ein bisl aufm Schlauch (liegt vlt an der Uhrzeit?): Soll das ein Gegenbeispiel für die Aussage sein? Weil ich habe schon gezeigt, dass ein Sehnenviereck mit vier gleich langen Seiten ein Quadrat ist.
Und ein Quadrat ist doch einfach nur ein spezielles Rechteck - insbesondere doch auch ein Parallelogramm. Ergibt sich jetzt irgendwie ein Widerspruch?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das soll kein gegenbeispiel sein, sondern daraus folgt, dass alle parallelogramme, die sehnenvierecke sind, auch rechtecke sind.
auf deine bitte betreffend pkt.2 hin.

(aber von 4 gleich langen seiten war da doch nie die rede.
wenn alle 4 seiten gleich lang sind, ist es ergo ein quadrat.)

ich weiß ja nicht, was du schon alles gezeigt hat, denn du zeigst es ja nicht uns.

ist wahrlich schon spät.
und vielleicht ist es doch besser, pro frage 1 beitrag zu machen

werner
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Hi wernerrin!

Alles klar, hab auch nochmal drüber nachgedacht und hab deine Ausführungen ja schon genauso aufgeschrieben. Lag wohl gestern doch eher an der Uhrzeit Augenzwinkern
Aber trotzdem vielen Dank!
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