Vektoren / Graphen |
| 05.12.2012, 13:59 | Mathe_Noobs | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Vektoren / Graphen Lassen Sie uns an die Knoten des Graphen reelle Zahlen schreiben. Jede Zuordnung reeller Zahlen zu den Knoten dieses Graphen G nennen wir eine Knotenbewertung. Formal ist dies eine Funktion V(G)->R, also von den Ecken von G in die reellen Zahlen. a) Zwei Knotenbewertungen von G kann man addieren, indem man an jedem Knoten die beiden Einzelwerte addiert. Außerdem kann man eine Knotenbewertung mit einer reellen Zahl multiplizieren, indem man den Wert an jedem Knoten mit dieser Zahl multipliziert. Begründen Sie, warum die Menge V aller möglichen Knotenbewertungen von G auf diese Weise zu einem reellen Vektorraum wird. Versuchen Sie Ihre Begründung so zu fassen, dass Sie gar nicht vom konkret gegebenen Beispielgraphen G abhängt. b) Nachfolgend sehen Sie für unseren Beispielgraphen G vier Knotenbewertungen v1,v2,v3,v4. Das Besondere an diesen ist, dass jede Bewertung die "Nullregel" erfüllt: Für jeden Knoten ist die Summe der Knotenwerte seiner Nachbarn gleich Null. Überzeugen Sie sich davon, dass dies für v1,v2,v3,v4 tatsächlich stimmt (nur für sich selber, nicht für die Aufgabenlösung). Begründen Sie, warum die Menge W aller Knotenbewertungen von G, die die Nullregel erfüllen, einen reellen Vektorraum bildet (genauer gesagt: einen Untervektorraum von V). Versuchen Sie Ihre Begründung so zu fassen, dass Sie gar nicht vom konkret gegebenen Beispielgraphen G abhängt. c) Da die vier Knotenbewertungen v1,v2,v3,v4 alle die Nullregel erfüllen, sind sie Elemente des reellen Vektorraumes W. Weisen Sie nach, dass die Menge {v1,v2,v3,v4} linear unabhängig in W ist. d) Wegen c) bilden die vier Knotenbewertungen v1,v2,v3,v4 eine Basis ihres Spanns S. Prüfen Sie, ob die nachfolgend gegebenen Knotenbewertungen w1,w2,w3 jeweils im Spann S liegen. Wann immer das für ein wi der Fall ist, geben Sie bitte die passenden Koordinaten von wi bezüglich v1,v2,v3,v4 an. Wann immer es nicht der Fall ist, geben Sie bitte eine aussagekräftige Begründung an. Meine Ideen: Stehe total auf den Schlauch... |
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| 05.12.2012, 14:12 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Thema haben wir schon hier. |
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