Zuordnungsvorschrift gesucht

05.12.2012, 14:44

Kartonaufkleber

Zuordnungsvorschrift gesucht

Folgende Gleichungen sind mir bekannt (die ich z.B. benutze, um Polynome höheren Grades auf Gleichungen geringeren Grades zu reduzieren -z.B. zum Zwecke der Nullstellenbestimmung).

$\begin{eqnarray*} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} - 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^{3} - 3 \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^{4} - 4 \cdot \left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} + 2 \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand die Zuordnungsvorschrift dieser Art für den allgemeinen Fall

$\begin{eqnarray*} x^{n} + \frac{1}{x^{n}} = ... \end{eqnarray*}$

nennen?

Vielen Dank im voraus.

05.12.2012, 15:29

Kartonaufkleber

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Ergänzung: Zuordnungsvorschrift gesucht
Alo ich habe mir mal für die o.g. Fälle n = 2, n = 3 und n = 4 (sowie für den Fall n = 1) folgende Zuordnungvorschrift "ausgedacht".

[attach]27105[/attach]

Ist diese Vorschrift allgemeingültig $\begin{eqnarray*} \forall n \geq 1 \end{eqnarray*}$ ?

05.12.2012, 15:53

schultz

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möglich wäre

$\begin{eqnarray*} x^n+\frac{1}{x^n}=(x+\frac{1}{x})^n-\sum_{k=1}^{n-1} \binom n k x^{n-2k} \end{eqnarray*}$
was jedoch nicht ganz deiner gesuchten form entspricht glaube.
das bei dir kann schon nicht hinhauen, da n/2 als laufindex der summe nicht zwangsläufig eine ganze zahl ergibt.bzw wieso sollten sachen dazu addiert werden verwirrt

das (-1)^i ist unsinn)

05.12.2012, 16:03

Kartonaufkleber

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Zuordnungsvorschrift gesucht
Hallo schultz,
vielen Dank für die schnelle Antwort.

Die $\begin{eqnarray*} \left(-1\right)^i \end{eqnarray*}$ habe ich genommen, weil ich vermute, dass das Vorzeichen in der Summe alterniert.

Als obere Grenze der Summe habe ich nicht $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ , sondern "Abrunden( $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ )" [in Excel-Notation] genommen (deshalb auch die Gaußsche Klammer unter $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ ).

Ich werde mich mal mit Deinem Vorschlag näher beschäftigen.

06.12.2012, 18:17

Kartonaufkleber

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Zuordnungsvorschrift gefunden?
Also meine Vermutung ist, dass es sich bei der gesuchten Zuordnungsvorschrift um Lucas-Polynome bzw. Dickson-Polynome handelt.

[attach]27134[/attach]

06.12.2012, 18:36

Mystic

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RE: Zuordnungsvorschrift gefunden?

Zitat:

Original von Kartonaufkleber
Also meine Vermutung ist, dass es sich bei der gesuchten Zuordnungsvorschrift um Lucas-Polynome bzw. Dickson-Polynome handelt.

Was jetzt nach den Erkenntnissen in diesem Thread nicht wirklich die große "Erleuchtung" ist... Big Laugh

06.12.2012, 19:15

Kartonaufkleber

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RE: Zuordnungsvorschrift gefunden?
Jaja, schon klar, aber gilt das auch wirklich für
$\begin{eqnarray*} x^{n} + \frac{1}{x^{n}} \end{eqnarray*}$
?

06.12.2012, 20:13

Mystic

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RE: Zuordnungsvorschrift gefunden?

Zitat:

Original von Kartonaufkleber
Jaja, schon klar, aber gilt das auch wirklich für
$\begin{eqnarray*} x^{n} + \frac{1}{x^{n}} \end{eqnarray*}$
?

Naja, für n=0 wäre die rechtstehende Summe nicht definiert, aber sonst stimmt die Formel natürlich für alle natürliche Zahlen n... Warum diese Zweifel? verwirrt

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Zuordnungsvorschrift gesucht

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