Integration mit Sprungfunktion

05.12.2012, 16:12

Gastleser

Integration mit Sprungfunktion

Hallo zusammen,

in der Regelungstechnik wird das Ausgangssignal y(t) als Faltung des Eingangssignals u(t) mit der Stoßantwort g(t) beschrieben. Weiter gibt es eine Sprungfunktion $\begin{eqnarray*} \sigma (t)= \begin{pmatrix} 0, t<0\\1, t \geq 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nach der Faltung und Umrechnung habe ich folgendes Integral:
$\begin{eqnarray*} y(t)=\int_{a=t-4}^{t-1} \! {2 \cdot e^{-a} \cdot \sigma(a) } \, da \end{eqnarray*}$

Laut Musterlösung ist das Ergebnis folgendes:
$\begin{eqnarray*} y(t) = \left[(c-2 \cdot e^{-a}) \cdot \sigma(a)\right]_{a=t-4}^{t-1} \end{eqnarray*}$
Wobei c die Integrationskonstante ist.

Ich verstehe nicht, wie ich auf dieses Ergebnis hätte kommen können.

Vielleicht kann mir das jemand erklären? Das wäre nämlich sehr toll :-)

Viele Grüße,
Simon

10.09.2017, 14:39

Energeneer

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Integration Sprungfunktion
Hallo Gastleser,

Ich glaube, ich habe die Lösung gefunden, nach nur 5 Jahren ^^:
Wenn du die Gleichung partiell integrierst, erhältst du gemäß den Integrationsregeln für

$\begin{eqnarray*} u = \sigma(a) \rightarrow \dot{u} = \delta(a) \dot{v} = 2\cdot e^{-a} \rightarrow v = -2\cdot e^{-a} \end{eqnarray*}$

folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \int_{a=t-4}^{t-1} \! \Big(2\cdot e^{-a} \cdot \sigma(a)\Big) \, da = \Big[ -2\cdot e^{-a} \cdot \sigma(a) \Big] - \int_{a=t-4}^{t-1} \! \Big(-2\cdot e^{-a} \cdot \delta(a)\Big) \, da \end{eqnarray*}$

Hier bei ist interessant, dass sich der hintere Teil $\begin{eqnarray*} \int_{a=t-4}^{t-1} \! \Big(-2\cdot e^{-a} \cdot \delta(a)\Big) \, da \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} c\cdot\sigma(a) \end{eqnarray*}$ ergibt, da einerseits die Delta-Distribution $\begin{eqnarray*} \delta(a) \end{eqnarray*}$ zur Sprungfunktion integriert wird, diese aber nur an der Stelle a=0 relevant ist, sodass man die Integration nur an dieser Stelle evaluieren muss.

An der Stelle a=0 ist jedoch die Funktion $\begin{eqnarray*} 2\cdot e^{-a} =1 \end{eqnarray*}$ , sodass sich insgesamt als Integration folgendes ergibt:

$\begin{eqnarray*} \int_{a=t-4}^{t-1} \! \Big(2\cdot e^{-a} \cdot \sigma(a)\Big) \, da = \Big[ -2\cdot e^{-a} \cdot \sigma(a) \Big] - c\cdot \sigma(a) = \sigma(a) \cdot (c-2\cdot e^{-a}) \end{eqnarray*}$

Et voilà, die gesuchte Funktion wurde erhalten. Ich hoffe, ich konnte dir helfen und du hast die MRT-Klausur trotzdem bestanden smile

-Energeneer

10.09.2017, 14:43

Energeneer

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RE: Integration Sprungfunktion

Zitat:

Original von Energeneer
Hallo Gastleser,

Ich glaube, ich habe die Lösung gefunden, nach nur 5 Jahren ^^:
Wenn du die Gleichung partiell integrierst, erhältst du gemäß den Integrationsregeln für

$\begin{eqnarray*} u = \sigma(a) \rightarrow \dot{u} = \delta(a) \dot{v} = 2\cdot e^{-a} \rightarrow v = -2\cdot e^{-a} \end{eqnarray*}$

folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \int_{a=t-4}^{t-1} \! \Big(2\cdot e^{-a} \cdot \sigma(a)\Big) \, da = \Big[ -2\cdot e^{-a} \cdot \sigma(a) \Big] - \int_{a=t-4}^{t-1} \! \Big(-2\cdot e^{-a} \cdot \delta(a)\Big) \, da \end{eqnarray*}$

Hier bei ist interessant, dass sich der hintere Teil $\begin{eqnarray*} \int_{a=t-4}^{t-1} \! \Big(-2\cdot e^{-a} \cdot \delta(a)\Big) \, da \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} c\cdot\sigma(a) \end{eqnarray*}$ ergibt, da einerseits die Delta-Distribution $\begin{eqnarray*} \delta(a) \end{eqnarray*}$ zur Sprungfunktion integriert wird, diese aber nur an der Stelle a=0 relevant ist, sodass man die Integration nur an dieser Stelle evaluieren muss.

An der Stelle a=0 ist jedoch die Funktion $\begin{eqnarray*} 2\cdot e^{-a} =1 \end{eqnarray*}$ , sodass sich insgesamt als Integration folgendes ergibt:

$\begin{eqnarray*} \int_{a=t-4}^{t-1} \! \Big(2\cdot e^{-a} \cdot \sigma(a)\Big) \, da = \Big[ -2\cdot e^{-a} \cdot \sigma(a) \Big] - c\cdot \sigma(a) = \sigma(a) \cdot (c-2\cdot e^{-a}) \end{eqnarray*}$

Et voilà, die gesuchte Funktion wurde erhalten. Ich hoffe, ich konnte dir helfen und du hast die MRT-Klausur trotzdem bestanden smile

-Energeneer

Mir ist eben noch aufgefallen, dass das Vorzeichen der Konstanten noch verändert werden muss, das habe ich übersehen.

Richtig ist also:

$\begin{eqnarray*} \int_{a=t-4}^{t-1} \! \Big(-2\cdot e^{-a} \cdot \delta(a)\Big) \, da = - c\cdot\sigma(a) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \int_{a=t-4}^{t-1} \! \Big(2\cdot e^{-a} \cdot \sigma(a)\Big) \, da = \Big[ -2\cdot e^{-a} \cdot \sigma(a) \Big] + c\cdot \sigma(a) = \sigma(a) \cdot (c-2\cdot e^{-a}) \end{eqnarray*}$

Grüße,
Energeneer

10.09.2017, 15:14

HAL 9000

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Wenn man schon einen 5 Jahre alten Thread aufarbeitet, dann sollte man aber auch mit dem dort enthaltenen Unsinn aufräumen, statt ihn zu bestätigen:

Der Wert eines bestimmten Integrals darf nicht von einer wie auch immer einfließenden Integrationskonstanten $\begin{align*} c \end{align*}$ abhängen. unglücklich

Man kann hier simpel eine Fallunterscheidung aufziehen: $\begin{align*} a<0 \end{align*}$ und $\begin{align*} a\geq 0 \end{align*}$ . Eine zu diesem Integranden

$\begin{align*} f(a) = 2\cdot e^{-a}\cdot \sigma(a) = \begin{cases} 2\cdot e^{-a} &\;\mbox{für}\; a\geq 0 0 &\;\mbox{für}\; a<0\end{cases} \end{align*}$

passende stetige (!) Funktion $\begin{align*} F \end{align*}$ , für die fast überall $\begin{align*} F'(a)=f(a) \end{align*}$ gilt (Ausnahme ist a=0) wäre etwa

$\begin{align*} F(a) = \begin{cases} 2-2\cdot e^{-a} &\;\mbox{für}\; a\geq 0 0 &\;\mbox{für}\; a<0\end{cases} \end{align*}$ ,

insbesondere der stetige Anschluss ist wichtig für die Integralauswertung. Damit kann man dann schreiben

$\begin{align*} y(t) = F(t-1)-F(t-4) = \left[\left(2-2 \cdot e^{-a}\right) \cdot \sigma(a)\right]_{a=t-4}^{t-1} \end{align*}$ .

Die obige Darstellung

$\begin{align*} y(t) \stackrel{?}{=} \left[\left(c-2 \cdot e^{-a}\right) \cdot \sigma(a)\right]_{a=t-4}^{t-1} \end{align*}$

ist für $\begin{align*} c\neq 2 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} 1<t<4 \end{align*}$ jedenfalls garantiert falsch.

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