ker + im = V

05.12.2012, 16:13

martha.1981

ker + im = V

Hi, ich frische gerade Lina etwas auf.

Zu der bekannten Aufgabe: V ein endl-dim. VR, $\begin{eqnarray*} f\in End(V) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f\circ f=f \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} ker(f)\oplus im(f)=V \end{eqnarray*}$

Ich gehe so vor: $\begin{eqnarray*} f\circ f=f \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(V)=im(f)=V \end{eqnarray*}$ , denn sonst wäre $\begin{eqnarray*} f\circ f \end{eqnarray*}$ nicht wohldefiniert.

Jetzt ist 0 im Kern, da f ein Endomorphismus, und deshalb linear, ist f(0)=0.

0 ist das einzige Element im Kern. Denn gäbe es noch eins, $\begin{eqnarray*} x\in V, x\neq 0, f(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Das Definitionmenge und Zielmenge = V sind, sind sie insbesondere gleich mächtig. d.h. es muss nun ein Element in der Zielmenge geben, das von keinem Element aus dem Definitionsbereich getroffen wird. Also wäre f nicht surj., was ein Widerspruch ist, und deshalb die kein weiteres Element im Kern ist.
(Den Teil finde ich nicht so schön, wie könnte man das vereinfachen?)

Nun ist also ker f = {0} und im f=V und damit ist der Schnitt gerade {0} und die Summe ker f + im f = {0}+V={0+v | v in V} = V

und damit ist die direkte Summe gezeigt.

Stimmt's so?

05.12.2012, 16:40

zweiundvierzig

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RE: ker + im = V

Zitat:

Original von martha.1981
Ich gehe so vor: $\begin{eqnarray*} f\circ f=f \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(V)=im(f)=V \end{eqnarray*}$ , denn sonst wäre $\begin{eqnarray*} f\circ f \end{eqnarray*}$ nicht wohldefiniert.

Weder Begründung noch Aussage stimmen. Eine orthogonale Projektion erfüllt die Voraussetzungen der Aufgabe, ist aber nicht surjektiv und daher auch nicht injektiv.

Du musst zwei Dinge zeigen, nämlich $\begin{eqnarray*} V = \ker(f) + \mathrm{im}(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ker(f) \cap \mathrm{im}(f) = \{0\} \end{eqnarray*}$ .

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