Lösungsmenge eines LGS (Gauß)

05.12.2012, 16:15

akaari

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Lösungsmenge eines LGS (Gauß)

Meine Frage:
Hallo Leute!
Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen:
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, der Stoff ist noch sehr neu für mich:

man soll ein lineares Gleichungssystem lösen, wobei ich 3 Gleichungen und 6 Unbekannte habe, also erwarte ich mal unendlich viele Lösungen. Ich könnte jetzt wohl so vorgehen wie zu Schulzeiten und drei Unbekannte gleich a,b und c setzen und die anderen dann in Abhängigkeit dieser Berechnen, da wir aber gerade Matrizen eingeführt haben rechne ich mit dem Gauß Algorithmus. Ich bekomme aber keine schöne Endform hin und genau hier hätte ich gerne einen Hinweis, wie ich weitermachen könnte.

Meine umgeformte Matrix ist:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4/3 & -1/3 & -1/6 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 11/2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -11/4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gewünscht hätte ich mir natürlich eine Nullzeile ganz unten, damit die Form gegeben wäre, aus der man die Lösungsmenge ablesen kann. Ich hab 1000 mal nachgerechnet, die Umformung stimmt, was kann ich hier also noch machen?

Meine Ideen:
stehen oben

05.12.2012, 18:03

Dopap

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Das ist Stufen-Staffelform. Auf deine Wünsche kann das System aber keine Rücksicht nehmen.

Also:
$\begin{eqnarray*} (3) x_6=0 <br /> (2) x_2=5<br /> (1) 6x_1+8x_4-2x_5=-6 \quad ... <br /> \end{eqnarray*}$

05.12.2012, 18:45

akaari

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Ups!
Ich habe beim Eröffnungspost nen Fehler gemacht. Sorry! (Trotzdem vielen Dank für de Antwort!)
Die letzte Zeile hat als 3. Eintrag eine 1, also kann man nicht einfach sagen $\begin{eqnarray*} x_6=0 \end{eqnarray*}$

Also hier nochmal die Matrix als Ganzes. Sry nochmal

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4/3 & -1/3 & -1/6 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 11/2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -11/4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Einzige das mir dazu einfällt ist die Unbekannten durch Parameter wie s,t,u zu ersetzen und dann die Unbekannten in Abhängigkeit voneinander darzustellen, aber ich glaube das ist hier nicht wirklich hilfreich oder? Ich muss außerdem festellen können, ob die Lösungsmenge ein Untervektorraum von
$\begin{eqnarray*} R^{6} \end{eqnarray*}$ ist, daher hätte ich die Lösungsmenge gerne in Form von Vektoren ausgerechnet. Deswegen habe ich so komisch erwähnt, ich hätte mir gewünscht, dass unten eine Nullzeile steht (Dann wärs ja in der Form "oben links Einheitsmatrx, daneben die negativen der Lösungsvektoren)

05.12.2012, 18:56

Dopap

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na und ? dann eben:

$\begin{eqnarray*} x_6=\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) x_3= \frac {11}{4} \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) x_2= 5 -\frac {11} 2 \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1) 6x_1 +8x_4-2x_5 -\lambda =-6 \end{eqnarray*}$ ...

edit: auf deinen Wunsch können wir später noch eingehen...

05.12.2012, 19:25

akaari

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Danke nochmal Dopap! Aber ich brauch immer noch ein wenig Hilfe:

Wenn ich
$\begin{eqnarray*} x_6=\lambda \end{eqnarray*}$
setze, verstehe ich deine drei Schritte, so hätte ich das auch gemacht.
Wenn ich jetzt die erste Zeile stehen habe
$\begin{eqnarray*} (1) 6x_1 +8x_4-2x_5 -\lambda =-6 \end{eqnarray*}$
Dann setze ich $\begin{eqnarray*} x_1=t und x_2=s \end{eqnarray*}$ und erhalte für $\begin{eqnarray*} x_5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_5=3-\frac{1}{2}\lambda+3t+4s \end{eqnarray*}$

Stimmt es dann wenn ich angebe:
$\begin{eqnarray*} x_1=t <br /> x_2=5- \frac{11}{2} \lambda <br /> x_3=-\frac{11}{4} \lambda <br /> x_4=s <br /> x_5=3-\frac{1}{2}\lambda+3t+4s <br /> x_6=\lambda \end{eqnarray*}$

Keine Ahnung wie man auf dem = zentriert sry :-)

05.12.2012, 19:47

Dopap

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$\begin{eqnarray*} x_1&= &t <br /> x_2&=&5- \frac{11}{2} \lambda <br /> x_3&=&-\frac{11}{4} \lambda <br /> x_4&=&s <br /> x_5&=&3-\frac{1}{2}\lambda+3t+4s <br /> x_6&=&\lambda \end{eqnarray*}$

Du meinst so? Augenzwinkern

Augenzwinkern

ja, und jetzt kannst du das Vektoriell als lineare Mannigfaltigkeit schreiben:

$\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \\0 \\3\\0 \end{pmatrix} + t ... + \lambda ... + s ... \end{eqnarray*}$

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05.12.2012, 20:06

akaari

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Haha Danke, die & Zeichen machens :-)

Und, super das du mir hilfst, ich komm nur mit dem letzten nicht klar:
Beim ,,Aufpunkt" ( spezielle Lösung für t,l,s = 0 oder?) verstehe ich die Vorgehensweise, nun will ich den gesamten Lösungsraum als Linearkombination darstellen oder?
Muss ich dann beim zweiten Vektor das t als skalar ausklammern? Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} t \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{5}{t} \\ 0 \\0 \\ \frac {3} {t} + 3\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und die beiden anderen Vektoren analog dazu? Oder mache ich da etwas falsch?
Vielen Dank nochmal!

05.12.2012, 20:19

Dopap

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in allen Vektoren sollten nur Zahlen stehen . !!!

$\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \\0 \\3\\0 \end{pmatrix} + t ... + \lambda ... + s ... \end{eqnarray*}$

deutete es schon an:

$\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \\0 \\3\\0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\0 \\3\\0 \end{pmatrix}+ \quad \lambda\cdot ()+ s\cdot () \end{eqnarray*}$

() soll den nächste Zahlenvektor andeuten. Bitte ergänzen...

05.12.2012, 20:37

akaari

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ich verstehe nicht wie du den zweiten Vektor ausrechnest?
Wegen der 1 auf der $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ Koordinate sieht es aus als würdest du t=1 wählen, dann hat man aber in der 5.Zeile 6 oder? Außerdem würde die zweite Zeile nicht wegfallen.

Oder aber man lässt radikal alles weg und behält nur den Koeffizienten von t, erhält also

$\begin{eqnarray*} t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\0 \\ 3 \\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und analog

$\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{11}{2} \\ -\frac{11}{4} \\0 \\ -\frac {1} {2} \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\1 \\ 4 \\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.12.2012, 20:57

akaari

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Da ich nicht mehr editieren kann:
Die letzte Aussage war als Frage gemeint, stimmt das also so?

05.12.2012, 21:19

Dopap

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ja, so ist es richtig !
Damit haben wir eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^6 \end{eqnarray*}$

05.12.2012, 22:12

akaari

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Hey cool Danke!
3-D weil ich drei ,,Richtungen" habe?

Weiterhin ist die Lösungsmenge ein Untervektorraum von R^6 weil ich durch Addition der Vektoren nicht aus R^6 rauskomme, mit Skalarmultiplikation nicht und auch die Null enthalten ist oder?

05.12.2012, 22:45

Dopap

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ja drei linear unabhängigen Vektoren bestimmen die Dimension der Lösungsmenge. Da der Urprung nicht enthalten ist ist die Lösung kein Unterraum. Bin mir aber nicht sicher.
Deshalb spreche immer von der der linearen Mannigfaltigkeit.

Nun zur ursprünglichen Frage: kann man aus der Gauss -Matrix die Lösung direkt ablesen ? Ja , das geht.

Das ist ein wenig schwierig anzuschreiben . Ich hoffe du verstehst es. Das steht aber auch in jedem Buch zur linearen Algebra.

05.12.2012, 22:52

akaari

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Also ich hab hier unser ,,Skript" Buch, in dem steht schon wie man das ablesen kann.
Das problem ist, dafür Braucht man die Form: (ich mach das mal ohne Latex, keine Ahnung wie man da Striche macht)

Einheitsmatrx | C
0 ..............0| 0

Dann kann sogar ich die Lösung ablesen. Nun komm ich mit der Umformung der Matrix nicht weiter. Daher mein Wunsch von vorhin, es sei unten doch alles Null :-)

Nochmal: unten rechts habe ich die Null hingeschrieben weil das LGS dann ja lösbar ist (laut Skript)

05.12.2012, 23:09

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4/3 & -1/3 & -1/6 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 11/2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -11/4 & 0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 &0&0 \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 &0&0<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so sieht die Matrix aus. Und nun:

Letze Spalte = Absolutvektor

Vorletzte Spalte negativ und der letzte Eintrag =1 : erster variabler Vektor

Vorvorletzte Spalte negativ und vorletzter Eintrag =1 : zweiter variabler Vektor

Vierte Spalte negativ und vierter Eintrag =1 : dritter variabler Vektor

so liest man aus der Gauss-Matrix die Lösungsmenge aus.

06.12.2012, 00:16

akaari

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haha man darf also einfach die nullzeilen hinzufügen? coole sache! danke!

06.12.2012, 00:54

Dopap

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Zitat:

Original von akaari
haha man darf also einfach die nullzeilen hinzufügen? coole sache! danke!

man darf also einfach die Nullzeilen hinzufügen?

Ja, warum nicht?? Man behauptet ja mit den Nullzeilen auf keinen Fall etwas Falsches ! Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.12.2012, 01:30

Dopap

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und falls es von Interesse ist, so sieht die erweiterte Matrix mit Strich aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin {array}{cccccc|c}<br /> 1 & 0 & 0 & 4/3 & -1/3 & -1/6 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 11/2 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -11/4 & 0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 &0&0 \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 &0&0<br /> \end {array}<br /> <br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

smile

smile

06.12.2012, 11:09

akaari

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Hey super Danke!
Ich hab natürlich mehr Fragen zu Mathe, ich mach dafür mal ein neues Thema auf oder?

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