FlächenInhalt Parallelogramm im R^2

05.12.2012, 15:45

Klösp

FlächenInhalt Parallelogramm im R^2

Hallo,

ich habe Folgende Aufgabe:
Ich soll den Flächeninhalt des Parallelogramm dieser beiden Vektoren ausrechenen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im R^3 wäre das ja kein Problem mit dem Kreuzprodukt.

Nur wie ist das im R^2?

Mein erster Ansatz:
Den Winkel zwischen den Vektoren berechnen und dann mit a*b*sin(alpha) den Flächeninhalt berechnen.

Das müsste ja soweit funktionieren. Nur sollte man das ganze eigentlich im Kopf ausrrechnen können.

Gibt es eventuell noch einen anderen Weg?
Ich weiß, dass man das Kreuzprodukt von Vekoren im R^2 mit Nullen in der Z-Komponente "erschummeln" kann. Nur kann ich das Ergebenis dann genauso interpretieren wie im R^3?

Danke im Vorraus

05.12.2012, 16:36

Dopap

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RE: FlächenInhalt Parallelogramm im R^2

Zitat:

Original von Klösp
Ich weiß, dass man das Kreuzprodukt von Vekoren im R^2 mit Nullen in der Z-Komponente "erschummeln" kann. Nur kann ich das Ergebenis dann genauso interpretieren wie im R^3?

Im Zahlenvektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist jeder Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ein Vektor in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Da wird nichts erschummelt. Ausserdem gilt $\begin{eqnarray*} A=|\vec u \times \vec v| \end{eqnarray*}$

06.12.2012, 14:51

Klösp

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Danke, das heißt also?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1*0-2*0 \\ 0*3-2*0 \\ 2*2-1*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | a\times b| =\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1 \end{eqnarray*}$

und damit dann auch A=1

06.12.2012, 15:02

Dopap

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ja, genauso ist es richtig !

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FlächenInhalt Parallelogramm im R^2

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