Galoisgruppe bestimmen, Diskriminante berechnen

05.12.2012, 18:42

Sabine2

Galoisgruppe bestimmen, Diskriminante berechnen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen!
Ich habe folgendes Polynom von Grad 6 gegeben:

x^6-35x^3+343

Ich kenne eine Nullstelle des Polynoms, nämlich
a=(7*(2,5+sqrt(3)/2*i))^(1/3).

Eine weitere Nullstelle des Polynoms ist natürlich das komplex-konjugierte von a. Die restlichen 4 Nullstellen erhalte ich nun durch Multiplikation dieser Nullstellen mit dritten Einheitswurzeln.
Nun kann man die Diskriminante des Polynoms bilden durch das Produkt der Quadrate der Nullstellendifferenzen
(a1-a2)^2*(a1-a3)^2*...*(a5-a6)^2. Die Produkte werden dabei gebildet über (ai-aj)^2 für alle i<j. (vergleiche wikipedia)

Ich glaube zu wissen, dass die Galoisgruppe dieses Polynoms (über den rationalen Zahlen) ablesch ist, genauer gesagt Z/3 x Z/2 also Z/6.
Nun gibt es eine Satz, der besagt, dass die Galoisgruppe eines Polynoms genau dann eine Untergruppe Der symmetrischen (nicht abelschen)Gruppe S_6 ist, falls die Diskriminante des Polynoms kein Quadrat in Q ist. Ich habe die Diskriminante berechnet und festgestellt, dass sie kein Quadrat in Q ist; sie ist nämlich negativ!
Meine Frage ist nun, ob das im Widerspruch zu meiner Vermutung über die Galoisgruppe Z/3 x Z/6 steht oder ob ich eien Denkfehler habe.

Meine Ideen:
keine ideen leider :-(

06.12.2012, 09:41

ollie3

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RE: Galoisgruppe bestimmen, Diskriminante berechnen
hallo,
nein, deine überlegungen sind sehr gut und alle richtig, eine nichtabelsche
gruppe wie S_6 kann durchaus eine abelsche untergruppe wie Z/6Z haben.
Du kannnst dir ja mal überlegen, welche elemente aus S_6 man nehmen
könnte, die sich wie Z/6Z verhalten...
gruss ollie3

06.12.2012, 10:51

Mystic

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RE: Galoisgruppe bestimmen, Diskriminante berechnen

Zitat:

Original von Sabine2
Nun gibt es eine Satz, der besagt, dass die Galoisgruppe eines Polynoms genau dann eine Untergruppe Der symmetrischen (nicht abelschen)Gruppe S_6 ist, falls die Diskriminante des Polynoms kein Quadrat in Q ist.

Diesen Satz versteh ich irgendwie nicht, denn die Galoisgruppe eines Poynoms vom Grad n ist doch stets eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ... Irgendwas fehlt da also noch...

Edit: Außerem bin ich etwas skeptisch bezüglich der Aussage, dass es die $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_6 \end{eqnarray*}$ sein soll... Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ ?

06.12.2012, 12:01

Sabine2

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@mystic:
ja, sorry du hast natürlich recht. ich hab das leider nicht ordentlich formuliert. Der Satz lautet eher so:
Ist f ein Polynom von Grad n irreduzibel, dann ist die Galoisgruppe von f genau dann die alternierenden Gruppe A_n, wenn die Diskriminante von f ein Quadrat in Q ist.

Das bedeutet natürlich, dass wenn die Diskriminante kein Quadrat ist, die Galoisgruppe von f eine andere Untergruppe der S_n ist.

Meine Idee war ursprünglich den Satz zu benutzen um rauszufinden, dass die galoisgruppe des obigen Polynoms die A_3 = Z/2 xZ/3 = Z/6 ist. Ich kann den Satz nur leider nicht verwenden, da ich ja den Fall n=6 habe und nicht n=3

06.12.2012, 12:23

Sabine2

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Ich denke dieses Problem hat sich geklärt, aber das ist leider nicht das ende der Geschichte :-(

was ich eigentlich versuche ist folgendes:

man betrachte eine Erweiterung E von Q, nämlich E=Q(zeta), wobei zeta eine dritte Einheitswurzel ist. diese Erweiterung hat grad 2 und ist galoisch.

Jetzt bilde ich eine grad 3 Erweiterung F von E, indem ich eine dritte Wurzel eines Elements aus E* adjungiere, also F=E(beta), wobei beta diese besagte dritte Wurzel ist.

Die Galoisgruppe von F über Q sollte nun grad 6 haben. Es gibt die zwei Möglichkeiten S_3 und A_3 für die Galoisgruppe. Die eine ist abelsch, wie bei dem Polynom
x^6-35x^3+343 von oben, die andere nicht.

Nun gibt es offenbar ein Kriterium mit dessen Hilfe man erkennt, welche der beiden Galoisgruppen vorliegt. Wir haben b=beta^3 ist Element von E*. Ist nun b°=b^2*c, so ist die Gruppe die A_3. Ist b°=b*c, so ist die Gruppe die S_3. Dabei bezeichnet b° das komplex konjugierte von b und c bezeiche eine Einheit in E.

dieses Kriterium möchte ich nachvollziehen.
darauf gestoßen bin ich durch:

http://sbseminar.wordpress.com/2008/04/2...-the-rationals/

das ist ein kurzer text, indem es um abelsche erweiterungen von Q geht. sehr interessant und nur ca. 2 seiten lang!
ich komme einfach nicht hinter den Trick. ich knobel schon lange :-(

06.12.2012, 16:44

Mystic

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Zitat:

Original von Sabine2
Meine Idee war ursprünglich den Satz zu benutzen um rauszufinden, dass die galoisgruppe des obigen Polynoms die A_3 = Z/2 xZ/3 = Z/6 ist. Ich kann den Satz nur leider nicht verwenden, da ich ja den Fall n=6 habe und nicht n=3

Irgendjemand blickt da nicht durch, kann aber auch sein, dass ich es bin, denn ich verstehe hier einfach nur Bahnhof... unglücklich

Erstens ist die $\begin{eqnarray*} A_3 \end{eqnarray*}$ (ich hoffe wir meinen dabei beide die Alternierende Gruppe 3.ten Grades, d.h., die Untergruppe $\begin{eqnarray*} \{id,(123),(132)\} \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ ) isomorph zur $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ und nicht zur $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_6 \end{eqnarray*}$ ...

Zweitens geht es in dem Artikel, den du oben verlinkt hast, immer um einfache Erweiterungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , soweit ich das überblicke... Spätestens nach der ersten echten Erweiterung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ haben wir dann aber einen anderen, größeren Körper...

Und drittes, trifft die Situation welche du in deinem letzten Posting beschreibst, haargenau auf das ursprüngliche Problem zu, ohne dass du das mit einem Wort erwähnst... Im Gegenteil: Du tust so, also wäre das eine neue, ganz andere Sache... Tatsächlich erhält man aber durch Adjunktion einer primitiven 3.ten Einheitswurzel

$\begin{eqnarray*} \omega =\frac{-1+i\sqrt 3}2 \end{eqnarray*}$

nichts anderes als den Erweiterungskörper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[i\sqrt3] \end{eqnarray*}$ vom Grad 2 über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und in diesem muss dann noch aus

$\begin{eqnarray*} \frac{7(5+i\sqrt 3)}2 \end{eqnarray*}$

die dritte Wurzel $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gezogen werden, d.h., wir erhalten eine weitere Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[i\sqrt 3,a] \end{eqnarray*}$ vom Grad 3 über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[i\sqrt 3] \end{eqnarray*}$ bzw. Grad 6 über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , in dem dann das Ausgangspolynom

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^6-35x^3+343 \end{eqnarray*}$

schlußendlich vollkommen in Linearfaktoren zerfällt... Soweit d'accord? verwirrt

07.12.2012, 10:24

Sabine2

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@mystic
erstmal danke für deine Antworten und deine Geduld mit mir smile

oh mann ist mir das peinlich! du hast natürlich recht. Es ist natürlich genau so wie du sagst. Ich weiß selbst nicht wie ich drauf gekommen bin die A_3 mit der Z/6 zu verwechseln. Ist das dumm!

Die Situation ist wie du sie beschreibst. Es geht um den Körper Q[i*sqrt(3),a] vom Grad 6 über Q.

In dem Artikel ist nun Kriterium angegeben für dieses a bzw für a^3=:A, welches mir sagt, welche Galoisgruppe nun vorliegt. Entweder die S_3 oder die Z/6.

Lass uns die Notation festlegen, dass F die Erweiterung von Grad 6 über Q ist, also
F=Q[i*sqrt(3),a]. Mit E bezeichnen wir den Zwischenkörper E=Q[i*sqrt(3)]. Und A:=a^3.
Mit Â bezeichne ich das Komplex Konjugierte von A. (wenn dich das zu sehr stört, kann ich versuchen Latex zu benutzen)

Das Kriterium sagt nun: gilt [Â]=[A]^-1 in E*/(E*)^3, so ist die Galoisgruppe die Z/6. Ist [Â]=[A], so ist die Galoisgruppe die S_3.

Dieses Kriterium möchte ich nachvollziehen!
E* bezeichnet die Einheitengruppe von E.
[Â]=[A]^-1 bedeutet ja einfach dass Â=cA^2, denn wenn man nun AÂ berechnet ist
AÂ = AcA^2 = cA^3 = 0 in E*/(E*)^3
Analog heißt [Â]=[A], dass Â=cA dabei ist c aus E* eine Eiheit in E.

08.12.2012, 23:02

Mystic

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Zitat:

Original von Sabine2
Das Kriterium sagt nun: gilt [Â]=[A]^-1 in E*/(E*)^3, so ist die Galoisgruppe die Z/6. Ist [Â]=[A], so ist die Galoisgruppe die S_3.

Naja, ich würde sagen, dass für

$\begin{eqnarray*} A=\frac{7(5+i\sqrt 3)}2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \hat A=\frac{7(5-i\sqrt 3)}2 \end{eqnarray*}$

gilt

$\begin{eqnarray*} A \hat A = 343 = 7^3 \end{eqnarray*}$

Daraus magst du nun deine eigenen Schlüsse ziehen... Augenzwinkern

10.12.2012, 11:18

Sabine2

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@mystic
hi :-) sorry, ich hatte übers wochenende kein internetzugang.
Du hast natürlich recht mit deiner rechnung; und für dieses A ergibt sich nach dem kriterium auch wirklich die Z/6 als Galoisgruppe.

Tut mir leid, wenn ich mich unverständlich ausgedrückt habe: was ich meine ist, ich suche einen beweis für die richtigkeit der aussage des kriteriums.
Bzw ich fasse das kriterium als satz auf und möchte diesen beweisen, für allgemeine A aus E*. Das A aus deier Rechnung ist ja nur ein Beispiel für das die Aussage stimmt. Es tut mir leid, wenn das nicht klar wurde, bitte entschuldige!

gruß Sabine :-)

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