Lineares Gleichungssystem mit komplexen Zahlen

05.12.2012, 18:55

baba2k

Lineares Gleichungssystem mit komplexen Zahlen

Hallo,

ich kann dieses Gleichungssystem einfach nicht lösen,
bzw. es kann doch nicht sein, das solche Ergebnisse rauskommen?
Kann ich dort vllt noch was vereinfachen?

Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem S

$\begin{eqnarray*} ix_1+x_2+x_3-ix_4=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1+ix_2-2x_3=2i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1-2x_2-ix_3+x_4=1 \end{eqnarray*}$

Man bestimme Anhand des Gauß-Algorithmus die Lösungen von S.

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} i & 1 & 1 & -i & -1 \\ 2 & i & -2 & 0 & 2i \\ 1 & -2 & -i & 1 & 1 \end{array}\right) \begin{matrix} I \\ II \\ III \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -i & -i & -1 & i \\ 0 & -3i & 2-2i & -2 & 0 \\ 0 & -2-i & 0 & -2 & -1+i \end{array}\right) \begin{matrix} I'=I\cdot (-i) \\ II'=2\cdot I'-II \\ III'=I'-III \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-2-i)x_2 -2x_4=-1+i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-2-i)x_2 -2z=-1+i \Rightarrow x_2=\frac{-1+i+2z}{-2-i}=\frac{1-i-2z}{2+i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3ix_2+(2-2i)x_3-2x_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3i(\frac{1-i-2z}{2+i})+(2-2i)x_3-2z=0 \Rightarrow x_3=\frac{-3i(\frac{1-i-2z}{2+i})+2z}{2-2i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1-ix_2-ix_3-x_4=i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1-i(\frac{1-i-2z}{2+i})-i(\frac{-3i(\frac{1-i-2z}{2+i})+2z}{2-2i})-z=i \Rightarrow x_1=i(\frac{1-i-2z}{2+i})+i(\frac{-3i(\frac{1-i-2z}{2+i})+2z}{2-2i})+z \end{eqnarray*}$

Kann ich da noch was auflösen, oder was mache ich da falsch?

06.12.2012, 09:31

klarsoweit

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RE: Lineares Gleichungssystem mit komplexen Zahlen

Zitat:

Original von baba2k
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -i & -i & -1 & i \\ 0 & -3i & 2-2i & -2 & 0 \\ 0 & -2-i & 0 & -2 & -1+i \end{array}\right) \begin{matrix} I'=I\cdot (-i) \\ II'=2\cdot I'-II \\ III'=I'-III \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich richtig rechne, müßte es so heißen:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -i & -i & -1 & i \\ 0 & -3i & 2-2i & -2 & 0 \\ 0 & 2-i & 0 & -2 & -1+i \end{array}\right) \begin{matrix} I'=I\cdot (-i) \\ II'=2\cdot I'-II \\ III'=I'-III \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Desweiteren wäre es hilfreich, wenn du alle Ergebnisse in diese Form bringst:

x_... = komplexe_Zahl_1 + komplexe_Zahl_2 * z

09.12.2012, 11:43

Mathe_monster

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Das Ergebnis wäre dann welches?

09.12.2012, 12:53

baba2k

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@klarsoweit: Vielen Dank, habe es jetzt getrennt.

@Mathe_monster: Das auflösen sollte doch jetzt kein Problem mehr sein, oder?

09.12.2012, 19:28

streamer

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vielleicht verguck ich mich, aber ich würde sagen ihr habt in der 2. Reihe, 3. Spalte ein i vergessen, dementsprechend dürften in der 3. Spalte andere Ergebnisse rauskommen.

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