Funktion gesucht

05.12.2012, 19:15

B.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

Funktion gesucht

Ich suche alle Funktionen

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^n -> \mathbb R \end{eqnarray*}$

mit

grad $\begin{eqnarray*} f (x_1,...,x_n) = (x_1,...,x_n) \end{eqnarray*}$

Meine Idee: Ich denke das könnten quadratische Funktionen dieser Gestalt sein:

$\begin{eqnarray*} f(x_1,...,x_n)= \frac{1}{2} x_{1}^2 +\frac{1}{2} x_{2}^2 + ...+\frac{1}{2} x_{n}^2 + C = \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^n (x_{i}^2) + C \end{eqnarray*}$

mit einer Konstanten $\begin{eqnarray*} C \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wenn ich das Ding nämlich partiell ableite, dann ergibt sich der Gradient oben.

Was meint ihr? Bitte helft mir auch formal ein wenig auf die Sprünge noch mehr Abzüge wegen unpräziser mathematischer Schreibweise kann ich mir nicht leisten geschockt

geschockt

.

Beste Grüße
B.A.

PS: Ich brauche die Lösung spätestens am Donnerstag Abend.

06.12.2012, 11:45

EinGast

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion gesucht
Deine Vermutung ist richtig. Beweisen kann man sie z.B. mit dem Mittelwertsatz (für reellwertige Funktionen mehrerer Variablen), angewendet auf die Funktion
$\begin{eqnarray*} g(x_1,\dots,x_n):=f(x_1,\dots,x_n)-\frac{1}{2}(x_1^2+\dots+x_n^2) \end{eqnarray*}$

06.12.2012, 17:59

B.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Gast,

Ich tippe mal die Aufgabe vollständig ab:

"Bestimmen sie alle Funktionen mit $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^n -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit grad $\begin{eqnarray*} f (x_1,...,x_n) = (x_1,...,x_n) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ "

Reicht es nicht die gesuchte Funktion einfach aufzuschreiben?

LG

06.12.2012, 19:19

EinGast

Auf diesen Beitrag antworten »

nein. Deine obige Funktion $\begin{eqnarray*} f(x_1,\dots,x_n)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n x_i^2+C \end{eqnarray*}$ hat die verlangten Eigenschaften. Umgekehrt musst du auch zeigen, dass alle gesuchten Funktionen von dieser Form sind, dh dass es keine weiteren gibt

06.12.2012, 20:14

B.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso okay... ich kenne den MWS nur für R aber nicht R^n.

Ich habe mal nachgeschlagen und diese Formel gefunden im Skript (ich hoffe sie stimmt unser Skript ist handschriftlich geschrieben und schwer lesbar...):

(Wobei wir eigentlich einen andren buchstaben als \xi haben, den ich aber nicht hinbekommen habe...)

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x_1)-f(x_2)=f'(x_1+ \xi \cdot (x_2-x_1))\cdot (x_2-x_1) = ({grad} f (x_1+ \xi\cdot (x_2-x_1))\cdot (x_2-x_1)<br /> \end{eqnarray*}$

ich werd aber aus der Formel nicht schlau... wie wende ich sie an? ich muss sie ein wenig ändern oder? Ist das da oben nur für R^n?

06.12.2012, 20:24

B.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von B.A.
Achso okay... ich kenne den MWS nur für R aber nicht R^n.

Ich habe mal nachgeschlagen und diese Formel gefunden im Skript (ich hoffe sie stimmt unser Skript ist handschriftlich geschrieben und schwer lesbar...):

(Wobei wir eigentlich einen andren buchstaben als \xi haben, den ich aber nicht hinbekommen habe...)

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x_1)-f(x_2)=f'(x_1+ \xi \cdot (x_2-x_1))\cdot (x_2-x_1) = ({grad} f (x_1+ \xi\cdot (x_2-x_1))\cdot (x_2-x_1)<br /> \end{eqnarray*}$

ich werd aber aus der Formel nicht schlau... wie wende ich sie an? ich muss sie ein wenig ändern oder? Ist das da oben nur für R^2? Ich brauche sie aber für x_1,...,x_n oder? ich glaub ich steh aufm schlauch...

Anzeige

06.12.2012, 20:41

B.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

SRY....................
blöde Tippfehler-.-

nochma:

Zitat:

Original von B.A.

Zitat:

Original von B.A.
Achso okay... ich kenne den MWS nur für R aber nicht R^n.

Ich habe mal nachgeschlagen und diese Formel gefunden im Skript (ich hoffe sie stimmt unser Skript ist handschriftlich geschrieben und schwer lesbar...):

(Wobei wir eigentlich einen andren buchstaben als \xi haben, den ich aber nicht hinbekommen habe...)

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x_1)-f(x_2)=f'(x_1+ \xi \cdot (x_2-x_1))\cdot (x_2-x_1) = ({grad} f (x_1+ \xi\cdot (x_2-x_1)), x_2-x_1)<br /> \end{eqnarray*}$

ich werd aber aus der Formel nicht schlau... wie wende ich sie an? ich muss sie ein wenig ändern oder? Ist das da oben nur für R^2? Ich brauche sie aber für x_1,...,x_n oder? ich glaub ich steh aufm schlauch...

06.12.2012, 22:16

EinGast

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, wir wenden den Mittelwertsatz auf obige Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ an - was ist der Gradient von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ?
(man kann auch auf den Mittelwertsatz verzichten, falls dieser noch nicht behandelt wurde, und Induktion nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ machen)

07.12.2012, 09:29

B.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

Net schlimm dass wir den MWS im R^n nicht hatten, kanns ja trotzdem anwenden vorausgesetzt die formel oben stimmt... Vollständige Induktion klingt aber auch gut...

aber ich muss mal nachhaken... du redest die ganze zeit von g und nicht von f? hat das einen hintergrund?

Also der Gradient von dem hier $\begin{eqnarray*} f(x_1,\dots,x_n)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n x_i^2+C \end{eqnarray*}$ geht doch aus der Aufgabe hervor :
grad $\begin{eqnarray*} f (x_1,...,x_n) \end{eqnarray*}$ = grad $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n x_i^2+C= (x_1,...,x_n) \end{eqnarray*}$

es wird wieder partiell abgeleitet und alles in einen vektor eingetragen...

07.12.2012, 10:21

EinGast

Auf diesen Beitrag antworten »

ich sehe gerade, dass in der Formel zum Mittelwertsatz noch ein kleiner Schreibfehler war: es sollte heissen

$\begin{eqnarray*} f(x_1)-f(x_2)=\operatorname{grad} f(x_1+\xi(x_2-x_1))\cdot (x_2-x_1) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} 0<\xi<1 \end{eqnarray*}$

Der Punkt $\begin{eqnarray*} x_1+\xi(x_2-x_1) \end{eqnarray*}$ , in dem der Gradient zu bilden ist, liegt irgendwo auf der Verbindungsstrecke von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ - wo genau, wissen wir nicht (das ist analog wie beim eindimensionalen Mittelwertsatz)

Zitat:

Original von B.A.
aber ich muss mal nachhaken... du redest die ganze zeit von g und nicht von f? hat das einen hintergrund?

ja, das hat einen bestimmten Grund - den siehst du, wenn du den Gradienten von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ausrechnest...(die Definition von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ steht oben in meinem ersten Post)

Zitat:

Also der Gradient von dem hier $\begin{eqnarray*} f(x_1,\dots,x_n)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n x_i^2+C \end{eqnarray*}$ geht doch aus der Aufgabe hervor :
grad $\begin{eqnarray*} f (x_1,...,x_n) \end{eqnarray*}$ = grad $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n x_i^2+C= (x_1,...,x_n) \end{eqnarray*}$
es wird wieder partiell abgeleitet und alles in einen vektor eingetragen...

ja, das zeigt, dass die Funktionen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\sum_{i=1}^nx_i^2+c \end{eqnarray*}$ (wo $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ eine beliebige Konstante ist) die verlangte Eigenschaft besitzen (dass ihr Gradient der Vektor $\begin{eqnarray*} (x_1,\dots,x_n) \end{eqnarray*}$ ist).
Aber es könnte prinzipiel noch weitere Funktionen geben, die die Aufgabe lösen

07.12.2012, 10:26

EinGast

Auf diesen Beitrag antworten »

lol, jetzt habe ich es auch noch falsch -
$\begin{eqnarray*} f(x_1)-f(x_2)=\operatorname{grad} f(x_1+\xi(x_2-x_1))\cdot (x_1-x_2) \end{eqnarray*}$
das sollte nun wirklich stimmen^^

07.12.2012, 10:33

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von EinGast
nein. Deine obige Funktion $\begin{eqnarray*} f(x_1,\dots,x_n)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n x_i^2+C \end{eqnarray*}$ hat die verlangten Eigenschaften. Umgekehrt musst du auch zeigen, dass alle gesuchten Funktionen von dieser Form sind, dh dass es keine weiteren gibt

Hm, seit wann ist eine Stammfunktion mehrdeutig, abgesehen von der additiven Konstanten C ? verwirrt

verwirrt

07.12.2012, 10:37

B.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion gesucht

Zitat:

Original von EinGast
$\begin{eqnarray*} g(x_1,\dots,x_n):=f(x_1,\dots,x_n)-\frac{1}{2}(x_1^2+\dots+x_n^2) \end{eqnarray*}$

Okay du willst also den Gradienten von dem da oben hören. Irgendwie macht es bei mir aber noch nicht klick... kann ich das ding "spalten"?

Der erste Summand geht aus der Aufgabenstellung hervor:

$\begin{eqnarray*} grad f (x_1,...,x_n) = (x_1,...,x_n) \end{eqnarray*}$

und der Grad vom zweiten Summanden ist aber genau dasselbe...

$\begin{eqnarray*} grad \frac{1}{2}(x_1^2+\dots+x_n^2)= grad \frac{1}{2} (x_{1}^2 +x_{2}^2 + ...+ x_{n}^2 + C)= (x_1,...,x_n) \end{eqnarray*}$

Also ist der grad von g gleich null? Forum Kloppe

Forum Kloppe

07.12.2012, 10:39

B.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von EinGast
nein. Deine obige Funktion $\begin{eqnarray*} f(x_1,\dots,x_n)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n x_i^2+C \end{eqnarray*}$ hat die verlangten Eigenschaften. Umgekehrt musst du auch zeigen, dass alle gesuchten Funktionen von dieser Form sind, dh dass es keine weiteren gibt

Hm, seit wann ist eine Stammfunktion mehrdeutig, abgesehen von der additiven Konstanten C ? verwirrt

verwirrt

Häh? Verwirrt mich doch net Big Laugh

Big Laugh

verwirrt

Also doch alles falsch? unglücklich

unglücklich

07.12.2012, 11:12

EinGast

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion gesucht
wenn du den Hinweis von Mystic verwenden darfst, ist die Aufgabe damit natürlich erledigt, das wäre am einfachsten.

Zitat:

Original von B.A.
Also ist der grad von g gleich null?

ja, und was folgt dann für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aus dem MWS ?

07.12.2012, 11:18

B.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß was du meinst... dann haben wir auch gezeigt dass die gesuchte funktion nur diese Funktion sind die den vorgegeben grad haben... weil die differenz null ist? wie kann man das schöner aufschreiben verwirrt

verwirrt

ich sehs schon wieder kommen... bekomme wieder nur die hälfte der punkte weil ich wieder so viele formfehler habe traurig

traurig

07.12.2012, 11:29

EinGast

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von B.A.
weil die differenz null ist?

ja dh für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gilt dann insbesondere $\begin{eqnarray*} g(x)=g(0) \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konstant
aber ich weiss nicht, ob der Aufgabensteller diese Lösung im Sinn hatte, wenn ihr den MWS für Funktionen im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ noch nicht kennt...

07.12.2012, 11:32

B.A.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir für deine Mühe.

07.12.2012, 15:59

b.a.

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion gesucht
kleine nachfrage zum aufschreiben des beweises... Ist meine konstante C aus R? (und nicht aus R^n)

07.12.2012, 16:15

EinGast

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Funktion gesucht
ja, C ist aus R, nicht R^n

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »