Schnittpunkt von Raumdiagonalen im 3-Spat

05.12.2012, 21:52

hanna87

Schnittpunkt von Raumdiagonalen im 3-Spat

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe, bei der ich Hilfe benötige: Ich soll zeigen, dass sich die Raumdiagonalen eines 3-Spats in einem Punkt schneiden, sofern der 3-Spat nicht in einer Ebene liegt.

Meine Ideen:
Meine Idee war folgende: Ich hatte angenommen, dass der Schnittpunkt der Diagonalen im Schwerpunkt des Spates liegen. Diesen habe ich also zunächst berechnet und bin auf folgendes Ergebnis gekommen: Der Schwerpunkt ist bestimmt durch S= -\frac{1}{2} p_{0}+\frac{1}{2}p_{1}+\frac{1}{2}p_{3}+\frac{1}{2}p_{4}
Danach wollte ich überprüfen, ob dieser Punkt auf den jeweiligen Raumdiagonalen liegt und bin mit der Strecke p_{0} p_{6} angefangen. Da beginnen meine Probleme dann aber. Ich habe daraus folgende Gleichung aufgestellt: p_{0}p_{6}=\lambda_{1}p_{0}+\lambda_{2}((p_{1}-p_{0})+(p_{3}-p_{0})+(p_{4}-p_{0})), wobei \lambda_{1}+\lambda_{2}=1
Ich dachte, ich könnte jetzt vermutlich einfach für die beiden \lambda einfach \frac{1}{2} einsetzen und dann bin ich fertig, aber entweder hab ich irgendwo einen Denkfehler drin. Wäre dankbar für eure Hilfe.
Als Anhang habe ich euch meine Skizze mit der Def. meiner Punkte hochgeladen, damit ihr wisst, wie welcher Punkt bei mir heißt.

05.12.2012, 21:59

hanna87

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RE: Schnittpunkt von Raumdiagonalen im 3-Spat
Ich hab vergessen, das die Formeln nicht richtig angezeigt wurden, hier nochmal

Zitat:

Original von hanna87
Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe, bei der ich Hilfe benötige: Ich soll zeigen, dass sich die Raumdiagonalen eines 3-Spats in einem Punkt schneiden, sofern der 3-Spat nicht in einer Ebene liegt.

Meine Ideen:
Meine Idee war folgende: Ich hatte angenommen, dass der Schnittpunkt der Diagonalen im Schwerpunkt des Spates liegen. Diesen habe ich also zunächst berechnet und bin auf folgendes Ergebnis gekommen: Der Schwerpunkt ist bestimmt durch $\begin{eqnarray*} S= -\frac{1}{2} p_{0}+\frac{1}{2}p_{1}+\frac{1}{2}p_{3}+\frac{1}{2}p_{4} \end{eqnarray*}$
Danach wollte ich überprüfen, ob dieser Punkt auf den jeweiligen Raumdiagonalen liegt und bin mit der Strecke $\begin{eqnarray*} p_{0} p_{6} \end{eqnarray*}$ angefangen. Da beginnen meine Probleme dann aber. Ich habe daraus folgende Gleichung aufgestellt: $\begin{eqnarray*} p_{0}p_{6}=\lambda_{1}p_{0}+\lambda_{2}((p_{1}-p_{0})+(p_{3}-p_{0})+(p_{4}-p_{0})) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}+\lambda_{2}=1 \end{eqnarray*}$
Ich dachte, ich könnte jetzt vermutlich einfach für die beiden $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einsetzen und dann bin ich fertig, aber entweder hab ich irgendwo einen Denkfehler drin. Wäre dankbar für eure Hilfe.
Als Anhang habe ich euch meine Skizze mit der Def. meiner Punkte hochgeladen, damit ihr wisst, wie welcher Punkt bei mir heißt.

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