Konvergenz einer Reihe

05.12.2012, 22:04

FloPie

Konvergenz einer Reihe

Meine Frage:
Hallo,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Gegeben Sei die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k^{2} x^{k} }{2^{k}\left(e^{kx}+2 \right) } \end{eqnarray*}$
Untersuchen Sie, für welche $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Reihe konvergiert und für welche sie divergiert.

Meine Ideen:
Ich habe angefangen, indem ich eine Fallunterscheidung gemacht habe:

Für |x|<1:
$\begin{eqnarray*} | a_{k} | \end{eqnarray*}$ ~ { $\begin{eqnarray*} \frac{k^{2} |x|^{k} }{2^{k}\left(e^{kx} +2\right) } \end{eqnarray*}$ für x>0, $\begin{eqnarray*} \frac{k^{2} |x|^{k} }{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$ für x<0 }

Nun stehe ich aber absolut auf dem Schlauch, wie mache ich jetzt weiter??
Kann mir da vielleicht einer helfen, das wäre sehr nett.

06.12.2012, 08:41

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Hmm, ich weiß ja jetzt nicht, welche Idee du da verfolgst. Ich hätte mich eher mit dem Quotientenkriterium dran versucht.

06.12.2012, 19:46

FloPie

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Ich habe versucht, Ausdrücke zu bilden, die konvergent sind, um dann die Vermutung aufzustellen, dass die Reihe auch konvergent ist, um dann mit einem Vergleichskriterium die Konvergenz zu beweisen.

Quotientenkriterium habe ich auch schon versucht, aber da komme ich irgendwie nicht weiter, ich komme bis hierhin, normalerweise würde ich jetzt im Zähler und Nenner die höchsten Potenzen ausklammern, aber was mache ich mit dem e hoch kx? Kann mir da vielleicht nochmal einer helfen?

$\begin{eqnarray*} | \frac{a_{k+1} }{a_{k} } |=| \frac{\left(k+1\right)^{2} x^{k+1} }{2^{k+1}\left(e^{\left(k+1\right)x }+2 \right) }\cdot \frac{2^{k}\left(e^{kx}+2 \right) }{k^{2}x^{k} } | =| \frac{\left(k+1\right)^{2}x\left(e^{kx}+2 \right) }{2k^{2} \left(e^{kx+x}+2 \right) } | \end{eqnarray*}$

07.12.2012, 09:06

klarsoweit

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Ich würde mir jetzt erstmal den Fall x < 0 anschauen. Wohin konvergiert dann der Term mit der e-Funktion, wenn k gegen unendlich geht?

07.12.2012, 16:35

FloPie

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Vielen Dank für deine Antwort!

Ich bin nun so weit gekommen:

für x<0:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \frac{\left(k+1\right)^{2}x\left(e^{kx}+2 \right) }{2k^{2}\left(e^{kx+x}+2 \right) } | = \lim_{k \to \infty } | \frac{2x(k+1)^{2} }{4k^{2}} |=\lim_{k \to \infty }\frac{-2x(k+1)^{2}}{4k^{2}} =\lim_{k \to \infty }\frac{-2xk^{2}-4xk-2x}{4k^{2}}=\lim_{k \to \infty }\frac{-2x-\frac{4x}{k}-\frac{2x}{k^{2}} }{4}=-\frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$

Nach dem Quotientenkriterium ist die Reihe also absolut konvergent für (0 < $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$ < 1 und x < 0)

--> Reihe ist absolut konvergent für -2 < x < 0, Reihe divergent für x < -2

Nun habe ich mir das Ganze für x=0 angesehen:
Für x=0 ist $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ =0, also ist die Reihe auch für x=0 konvergent.

--> Reihe absolut konvergent für $\begin{eqnarray*} -2<x\leq 0 \end{eqnarray*}$

Nun wollte ich mir x=-2 vornehmen, da wir ja über das Quotientenkriterium an der Stelle keine Aussage machen können:

$\begin{eqnarray*} a_{k}=\frac{k^{2}(-2)^{k}}{2^{k}(e^{-2k}+2) }=-\frac{k^{2}}{e^{-2k}+2} \end{eqnarray*}$

Hier komme ich aber jetzt nicht weiter, normalerweise würde ich jetzt per Vergleichskriterium eine Nullfolge suchen, um die Konvergenz der Reihe zu beweisen.. kann die aber hier nicht finden.. Ich habe deshalb die Vermutung, dass die Reihe hier divergent ist..

Nun habe ich mir das Ganze noch für x>0 angeschaut:

$\begin{eqnarray*} | \frac{\left(k+1\right)^{2}x\left(e^{kx}+2 \right) }{2k^{2}\left(e^{kx+x}+2 \right) } | = \frac{\left(k+1\right)^{2}x\left(e^{kx}+2 \right) }{2k^{2}\left(e^{kx+x}+2 \right) } \end{eqnarray*}$

Ich weiß, ist nicht gerade viel, aber weiter komme ich nicht.. Habe keine Idee, wie ich nun weiter vorgehen soll, da die e-Funktionen für k gegen unendlich ja nun nicht wegfallen..

Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar!

10.12.2012, 20:57

FloPie

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Hat denn keiner eine Idee, wie er mit helfen könnte?
Ich würde mich über noch so kleine Hilfen sehr freuen! smile

11.12.2012, 09:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von FloPie
Nun wollte ich mir x=-2 vornehmen, da wir ja über das Quotientenkriterium an der Stelle keine Aussage machen können:

$\begin{eqnarray*} a_{k}=\frac{k^{2}(-2)^{k}}{2^{k}(e^{-2k}+2) }=-\frac{k^{2}}{e^{-2k}+2} \end{eqnarray*}$

Hier komme ich aber jetzt nicht weiter, normalerweise würde ich jetzt per Vergleichskriterium eine Nullfolge suchen, um die Konvergenz der Reihe zu beweisen.. kann die aber hier nicht finden.. Ich habe deshalb die Vermutung, dass die Reihe hier divergent ist..

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{k^{2}(-2)^{k}}{2^{k}(e^{-2k}+2) } = (-1)^k \cdot \frac{k^2}{e^{-2k}+2} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich ist a_k keine Nullfolge und damit ist die Reihe divergent.

Zitat:

Original von FloPie
Nun habe ich mir das Ganze noch für x>0 angeschaut:

$\begin{eqnarray*} | \frac{\left(k+1\right)^{2}x\left(e^{kx}+2 \right) }{2k^{2}\left(e^{kx+x}+2 \right) } | = \frac{\left(k+1\right)^{2}x\left(e^{kx}+2 \right) }{2k^{2}\left(e^{kx+x}+2 \right) } \end{eqnarray*}$

Ich weiß, ist nicht gerade viel, aber weiter komme ich nicht.. Habe keine Idee, wie ich nun weiter vorgehen soll, da die e-Funktionen für k gegen unendlich ja nun nicht wegfallen..

Da könnte es dir helfen, wenn du den Bruch mit $\begin{eqnarray*} e^{-kx} \end{eqnarray*}$ erweiterst. smile

16.12.2012, 19:22

FloPie

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Vielen Dank für deine Hilfe,
ich habe es mit deinen Tipps lösen können Freude

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