Aussagen zu (absolut-) konvergenten Reihen

05.12.2012, 23:43

PechKaro

Aussagen zu (absolut-) konvergenten Reihen

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine reelle Folge und $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ eine beschränkte Folge.
Entscheiden Sie ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. (Beweise!)

Falls $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ absolut konvergent ist, so ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}b_{n} \end{eqnarray*}$ absolut konvergent

Falls $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergent ist, so ist auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ konvergent

Falls $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ konvergent ist, so ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray*}$ absolut konvergent

Meine Ideen:
Ich habe leider überhaupt gar keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen soll unglücklich

Wir haben gerade mit dem Thema Reihen begonnen, nur leider habe ich bisher nicht viel davon verstanden

Ich wäre sehr dankbar für einen guten Ansatz

06.12.2012, 13:06

CPBach

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RE: Aussagen zu (absolut-) konvergenten Reihen
Hi,
Die letzt Aussage ist easy! Die ist offensichtlich falsch.
Betrachte mal bspw. die Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac1n \end{eqnarray*}$

Gruß,
CPBach

06.12.2012, 13:14

CPBach

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RE: Aussagen zu (absolut-) konvergenten Reihen
Zu Reihen:

Du hast eine Folge, sagen wir $\begin{eqnarray*} a_n = \frac1n \end{eqnarray*}$ und du fragst dich ob die Reihe konvergiert, d.h.
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} \frac1i = \infty \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} \frac1i= c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Du summierst also alle Folgenglieder bis ins Unendliche, also:
$\begin{eqnarray*} \frac11 + \frac12 + \frac13 + \ldots \end{eqnarray*}$
dann schaust du wie sich das entwickelt wenn du das unendlich lange machst.

Hoffentlich hilft das zur Anschauung.

Gruß

06.12.2012, 15:14

PechKaro

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RE: Aussagen zu (absolut-) konvergenten Reihen
Ok also wenn ich die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ betrachte , dann beschreibt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ die harmonische Reihe, die soweit mir bekannt ist divergiert.

Muss ich also nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ konvergiert

Ich habe mir mal die ersten paar Werte angeschaut ...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{n})^2 = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} ^2 \end{eqnarray*}$ läuft ja gegen Null, ich stelle mir das also so vor, dass wenn n gegen Unendlich läuft, ich irgendwann nur noch Null addieren würde. Wie ich daraus allerdings den Grenzwert ermitteln soll ist mir noch ein Rätsel

06.12.2012, 17:49

CPBach

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RE: Aussagen zu (absolut-) konvergenten Reihen
Hi,

der Grenzwert der Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}$ .
Das solltet ihr aber mal in der Vorlesung behandelt haben. Die Herleitung ist meines Wissens auch nicht so einfach.

Allgemein gilt: Explizite Grenzwerte von unendlichen Reihen zu bestimmen ist im Allgemeinen relativ schwierig, bis auf einige Ausnahmen (bspw. geometrische Reihe, Teleskopsummen, usw.. )

Dass du am Ende nur noch Null addierst, stimmt nicht ganz, aber deine Summanden kommen beliebig nah an die Null ran.

(Allgemein muss für die Konvergenz einer Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ dein $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge sein. Man sagt auch, dass die Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, ist eine notewendige Bedingung für die Konvergenz deiner Reihe, aber keine hinreichende. Klingt auch logisch: Keiner würde erwarten das die Summation über wachsende Folgenglieder irgendwann konvergiert. Augenzwinkern

)

Noch ein Hinweis zu deiner 2. Teilaussage(wahr): Suche mal nach Majoranten/Minoranten-Kriterium.

Und zuletzt: Nie die Neugier verlieren Augenzwinkern

Gruß,
CPBach

06.12.2012, 23:36

Che Netzer

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RE: Aussagen zu (absolut-) konvergenten Reihen

Zitat:

Original von CPBach
Noch ein Hinweis zu deiner 2. Teilaussage(wahr): Suche mal nach Majoranten/Minoranten-Kriterium.

Die zweite Aussage ist aber falsch...

Diesen Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{\pi^2}6 \end{eqnarray*}$ kann man über Taylor-Reihen berechnen, macht man also in der Regel erst später.

07.12.2012, 16:48

CPBach

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RE: Aussagen zu (absolut-) konvergenten Reihen
Wie, was? Wie ist denn das Gegenbeispiel? Ich mach ja im Prinzip was kleines noch kleiner !?

07.12.2012, 16:52

Che Netzer

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RE: Aussagen zu (absolut-) konvergenten Reihen
Schon, aber das kleine, was noch kleiner wird, kann sich dann nicht mehr gegenseitig aufheben Augenzwinkern

In dem Teil wurde ja nicht die absolute Konvergenz gefordert.

Ein Gegenbeispiel sollte sich der Fragesteller überlegen.

07.12.2012, 16:57

CPBach

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RE: Aussagen zu (absolut-) konvergenten Reihen
Ok, Che Netzer hat recht. Hab mich vertan.
Damit sie wahr wäre, müsste die linke Seite absolut konvergieren.
Danke!

09.12.2012, 00:34

PechKaro

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RE: Aussagen zu (absolut-) konvergenten Reihen
Ok also als gegenbeispiel dachte ich mir

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}^2 \end{eqnarray*}$ ist harmonische folge, also divergent

09.12.2012, 00:39

PechKaro

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RE: Aussagen zu (absolut-) konvergenten Reihen
Nein den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{\pi ^2}{6} \end{eqnarray*}$ haben wir in der Vorlesung noch nicht hergeleitet, aber ich habe jetzt gezeigt, dass die Reihe < 2 ist, was für diese Aufgabe hoffentlich ausreichend ist smile

Und ich bedanke mich für die guten Tipps, die ihr mir gegeben habt Freude

09.12.2012, 01:13

Che Netzer

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Das Beispiel stimmt Freude

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