Beweis: konvexe Hülle ist Teilmenge eines Spats

06.12.2012, 13:07	emilya	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: konvexe Hülle ist Teilmenge eines Spats Meine Frage: Hey ihr Lieben, für einen Beweis bräuchte ich ein paar Tipps. Die Aufgabe lautet: Seien $\begin{eqnarray} p_{0},...,p_{k} \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ affin unabhängige Punkte. Zeigen Sie, dass dann gilt: $\begin{eqnarray} conv(p_{0},...,p_{k}) \subseteq \pi (p_{0},...,p_{k}) \end{eqnarray}$ . Für welche k gilt hier Gleichheit? Begründen Sie dies. Also sollen wir zeigen, dass die konvexe Hülle von k Punkten eine Teilmenge des von ihnen aufgespannten Spats ist. Meine Ideen: Wir haben zunächst versucht, mit den Definitionen weiter zu kommen. Bei der konvexen Hülle handelt es sich ja um die Menge aller Konvexkombinationen der gegebenen Punkte, also: $\begin{eqnarray} conv(p_{0},...,p_{k})=\left\{ (\sum\limits_{i=0}^k \lambda_{i} p_{i}) : \lambda_{i} \geq 0, (\sum\limits_{i=0}^k \lambda_{i})=1 \right\} \end{eqnarray}$ Das Spat ist uns so bekannt: $\begin{eqnarray} \pi (p_{0},...,p_{k})=\left\{ p_{0} + (\sum\limits_{i=0}^k \lambda_{i} * (p_{i} - p_{0})) : \lambda_{i} \in \left[0,1\right] \right\} \end{eqnarray}$ Wir wissen auch, dass wir zeigen müssen, dass ein Element aus der konvexen Hülle auch in dem Spat liegt und es ist uns auch klar, dass natürlich alle Verbindungsstrecken der gegebenen Punkte auch in dem von ihnen aufgespannten Spat liegen müssen (also rein logisch). Nur leider haben wir keine Idee, wie wir das formal beweisen können. Also wie wir z.B. die Konvexkombination so umschreiben können, dass daraus ersichtlich wird, dass das herausgenommene Element auch in dem Spat liegt. Es verwirrt uns auch noch ein wenig, warum sich die Bedingungen für das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ändern, denn bei dem Spat können die $\begin{eqnarray} \lambda_{i} \end{eqnarray*}$ ja theoretisch auch alle =1 sein und die Summe wäre dann k und nicht mehr 1. Ich freue mich über jeden Tipp Danke schonmal!

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