wurzelfunktion ableiten

06.12.2012, 14:39

voodoo

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wurzelfunktion ableiten

ich hab die funktion g(x) = sqrt(x) mit x>0

In der Vorlesung wurde bereits gezeigt, dass
$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{1}{2} * \frac{1}{x} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
ist.

jetzt zur aufgabe, die sich auf die erste Ableitung von g(x) bezieht.

Zeigen sie, dass für n >= 2

$\begin{eqnarray*} g^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}* \frac{(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)!} * \frac{1}{x^n} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

indem sie nur die aussagen von Satz 2.11 und die Aussage über die Ableitung der Wurzelfunktion g benutzen. (g^(n) bezieht sich auf die n-te ableitung)

Satz 2.11 sind die Differentationsregeln (4 an der zahl)
seien f und g funktionen I -> R mit x element von I differentierbar, c sei konstante
1. $\begin{eqnarray*} (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} (c * f)'(x) = c * f'(x) \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} (f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} g(x)\neq 0 \Rightarrow (\frac{f}{g} )'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} \end{eqnarray*}$
insbesondere $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{g})'(x) = \frac{-g'(x)}{g^2(x)} \end{eqnarray*}$

ich verstehe den ganzen term der n-mall abgeleitet wurde gar nicht.. unglücklich

unglücklich

was wurde denn da gemacht?

06.12.2012, 14:47

klarsoweit

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RE: wurzelfunktion ableiten
Ob du den Term verstehst oder nicht, ist unerheblich.

Entscheidend ist, daß zu beweist, daß sich die n-te Ableitung von g(x) eben genau so, wie da angegeben ist, darstellen läßt.

06.12.2012, 18:31

voodoo

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RE: wurzelfunktion ableiten
ja das is cool aber das seh ich irgendwie nicht, wie ich das machen soll
ich soll ja den term $\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{1}{2} * \frac{1}{x} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
n-mal ableiten...
wie mach ich denn das?

07.12.2012, 09:10

klarsoweit

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RE: wurzelfunktion ableiten
Du sollst das nicht n mal ableiten, sondern die Gleichung

$\begin{eqnarray*} g^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}* \frac{(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)!} * \frac{1}{x^n} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

beweisen. Und da könnte man sich ja auch eine vollständige Induktion als Beweismethode vorstellen. smile

smile

07.12.2012, 11:34

voodoo

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hmmm ok..
also ich hab mir das jetzt so gedacht:

mit $\begin{eqnarray*} (f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) \end{eqnarray*}$
kann ich $\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{1}{2} * \frac{1}{x} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
aufdrößeln in $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
das 1/2 fällt eh bei ableitung raus...
somit komm ich auf :
$\begin{eqnarray*} (f*h)'(x) = -1 *\frac{1}{x^2} *\sqrt{x} +\frac{1}{x} *\frac{1}{2} *\frac{1}{x} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
oder nicht?
dann hab ich hinten ja wieder mein f(x) und h(x)

mit vollständiger induktion weiß ich gerade nicht wie man das machen muss...
ich verstehe vor allem nicht die fakultät in der gleichung und wie die zustande kommt...

denk ich gerade völlig falsch eigentlich?

EDIT: hey hey!! vollständige induktion ist eigentlich ein super ansatz seh ich gerade oder nicht?
dann muss ich nur einmal beweisen, dass der Induktionsanfang gilt, also die 2-te Ableitung genau das ist, was da steht und dann für die n+1-te ...

07.12.2012, 12:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von voodoo
EDIT: hey hey!! vollständige induktion ist eigentlich ein super ansatz seh ich gerade oder nicht?
dann muss ich nur einmal beweisen, dass der Induktionsanfang gilt, also die 2-te Ableitung genau das ist, was da steht und dann für die n+1-te ...

So ist es. smile

smile

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08.12.2012, 18:13

Adeaphon

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Und wie weise ich ohne Nutzung der Potenzregeln nach, dass die zweite Ableitung von Wurzel (X) eben genau:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{4x^3/2} \end{eqnarray*}$ ist?

08.12.2012, 19:54

voodoo

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Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} g''(x) = g^{(2)}(x) \end{eqnarray*}$ <=>
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2} * \frac{1}{x} \sqrt{x} )' = -1^1 * \frac{1!}{4 * 0!} * \frac{1}{x^2} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ <=>
$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{4x^{\frac{3}{2}}} = -1 * \frac{1}{4} * \frac{1}{x^2} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Induktionsvorraussetzung: Annahme gilt für n + 1

Induktionsschritt:
$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{4x^{\frac{3}{2}}} = -1 * \frac{1}{4} * \frac{1}{x^2} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
hier weiß ich jetzt nicht mehr weiter gerade...
wie mach ich das?

08.12.2012, 21:38

Adeaphon

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Bei der vollständigen Induktion setzt du doch als Beweis (n+1) ein.

Sprich aus der zu zeigenden Gleichung:

$\begin{eqnarray*} g^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}* \frac{(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)!} * \frac{1}{x^n} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Wird zunächst:

$\begin{eqnarray*} g^{(n+1)}(x) = (-1)^{(n+1)-1}* \frac{(2(n+1) - 3)!}{4^{(n+1)-1}((n+1)-2)!} * \frac{1}{x^{(n+1)}} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Und damit rechnest du weiter.

Aber woher holst du aus deinem Induktionsanfang das Wissen über die zweite Ableitung von g(x)?

Du musst sie ja als wahr beweisen.

10.12.2012, 13:33

voodoo

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also für den anfang muss ich doch zeigen, dass die zweite ableitung der wurzelfunktion (also die ableitung der ableitung) genau das ist, was rauskommt, wenn wir die gleichung für n=2 lösen und das hab ich doch gezeigt oder nicht?

nu weiß ich beim IS nicht weiter, weil das muss ich ja n = n + 1 setzen und wweis aber nicht wie ich das beweisen soll, dass es immer gilt und die ableitung bildet...

10.12.2012, 13:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von voodoo
also für den anfang muss ich doch zeigen, dass die zweite ableitung der wurzelfunktion (also die ableitung der ableitung) genau das ist, was rauskommt, wenn wir die gleichung für n=2 lösen und das hab ich doch gezeigt oder nicht?

Na ja, du mußt auch zeigen, daß $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2} * \frac{1}{x} \sqrt{x} )' = \frac{-1}{4x^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$ ist, und zwar mit den Mitteln, die ihr bewiesen habt. Und das ist für mich nicht erkennbar.

Zitat:

Original von voodoo
nu weiß ich beim IS nicht weiter, weil das muss ich ja n = n + 1 setzen und wweis aber nicht wie ich das beweisen soll, dass es immer gilt und die ableitung bildet...

Ich würde mal als erstes $\begin{eqnarray*} g^{(n)}(x) \end{eqnarray*}$ einmal ableiten. smile

smile

10.12.2012, 16:19

voodoo

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$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2} * \frac{1}{x} \sqrt{x} )' = \frac{-1}{x^2}* g'(x) = \frac{-1}{4x^{\frac{3}{2} }} \end{eqnarray*}$
also die konstante 1/2 fällt weg und 1/x wird dann ja zu -1/x^2 und die wurzel wird ja wieder mit 1/2*1/x*sqrt(x) = g'(x) und das dann ein bisschen zusammengefasst... und das ist dann doch gleich der gleichung für n = 2...

naja g^(n) is dann ja abgeliten (^_^)
$\begin{eqnarray*} (g^{(n)})'(x) =( (-1)^{n-1}* \frac{(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)!} * \frac{1}{x^n} \sqrt{x})' = (n-1)(-1^{n-2}) * \frac{(2n -3)!}{(n-1)4^{n - 2}(n - 2)!} * \frac{1}{n*x^{n-1}} * g'(x) = (n-1)(-1^{n-2}) * \frac{(2n -3)!}{(n-1)4^{n - 2}(n - 2)!} * \frac{1}{n*x^{n-1}} * \frac{1}{2} * \frac{1}{x} * \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
oder nicht?
ich glaub ich hab mit den konstanten nen fehler gemacht...

10.12.2012, 17:51

Adeaphon

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Die Ableitung von g^n(x) ist:

$\begin{eqnarray*} (g^{(n)})'(x) =( (-1)^{n-1}* \frac{(\frac{1}{2}-n)(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)!} *x^{-n-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

10.12.2012, 19:32

voodoo

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ok also hier mal was ich bis jetzt hab...
beim induktionsschritt hängts irgendwie...

Wir wollen zeigen, dass die Behauptung für n >= 2 stimmt:
$\begin{eqnarray*} g^{(n)} = (-1)^{n-1} * \frac{(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)!} *\frac{1}{x^n} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Es folgt also für n=n+1:
$\begin{eqnarray*} g^{(n+1)} = (-1)^{n+1-1} * \frac{(2(n+1) - 3)!}{4^{n}(n-1)!} *\frac{1}{x^{n+1}} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} g^{(2)}(x) = (\frac{\sqrt{x}}{2x} )' = \frac{\frac{\sqrt{x} }{2x} * 2x - \sqrt{x} *2 }{4x^2} = \frac{\sqrt{x} - 2 *\sqrt{x} }{4x^2} = \frac{-\sqrt{x} }{4x^2} = -1 * \frac{1}{4} * \frac{1}{x^2} \sqrt{x} = -1^{2-1}*\frac{(2*2-3)!}{4^{2-1}(n-2)!} * \frac{1}{x^2} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:
jetzt müssen wir die behauptung doch für n+1 beweisen. verwirrt

verwirrt

kurz am rand:
$\begin{eqnarray*} ((-1)^{n-1})' = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((2n - 3)!)' = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x^n)' = n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

Es folgt:
$\begin{eqnarray*} ((4^{n-1}(n-2)!)*(x^n))' = 4^{n-1}(n-2)! * n * x^{n-1} = 4^{n-1}((n+1) - 2)! *x^{n-1} \end{eqnarray*}$
=>
$\begin{eqnarray*} (\frac{(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)! * x^n}) ' = - \frac{(2n-3)!4^{n-1}((n+1)-2)!*x^{n-1}}{4^{2n-2}*((n-2)1)^2*x^{2n}} \end{eqnarray*}$
=>
$\begin{eqnarray*} ((-1)^{n-1} \frac{(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)! * x^n}) ' = (-1)^{n+1-1}*-\frac{(2n-3)!4^{n-1}((n+1)-2)!*x^{n-1}}{4^{2n-2}*((n-2)!)^2 * x^{2n}} = (-1)^{n+1-1}*-\frac{(2n-3)!((n+1)-2)!*x^n*x^{-1}}{4^{n-1}*((n-2)!)^2 * x^{2n}} = (-1)^{n+1-1}*-\frac{(2n-3)!((n+1)-2)!}{4^{n-1}*((n-2)!)^2 * x^{n+1}} \end{eqnarray*}$
=> (jetzt angewandt auf n+1 in g)
$\begin{eqnarray*} g^{(n+1)}(x) = \frac{1}{2x} \sqrt{x} *(-1)^{n-1} * \frac{(2n+3)!}{4^{n-1}(n-2)!*x^n} + (-1)^{n+1-1} \frac{(2n-3)!*((n+1)-2)!}{4^{n-1} * ((n-2)!)^2 * x^{n+1}} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

=> (nach endlichen umformungen, die ich zu faul bin gerade aufzuschreiben)

$\begin{eqnarray*} = \frac{(-1)^{n-1} \sqrt{x} * (2n-3)! * (3-2n)}{4^{n-1} * (n-2)! * 2x^{n+1}} \end{eqnarray*}$

hier kommen wir nicht mehr weiter... unglücklich

unglücklich

10.12.2012, 21:34

voodoo

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also eigentlich müssten wir das doch nur noch weiter umformen, dann müssten wir irgendwie auf
$\begin{eqnarray*} g^{(n+1)}(x) = (-1)^{(n+1)-1}* \frac{(2(n+1) - 3)!}{4^{(n+1)-1}((n+1)-2)!} * \frac{1}{x^{(n+1)}} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
kommen oder nicht??
nur seh ich nicht, wie die umformung geht... unglücklich

unglücklich

11.12.2012, 09:41

klarsoweit

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Irgendwie machst du es dir komplizierter als es ist. Ausgehend von

$\begin{eqnarray*} g^{(n)} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)!} \cdot \frac{1}{x^n} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

gilt: $\begin{eqnarray*} g^{(n+1)} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)!} \cdot \left( \frac{1}{x^n} \sqrt{x} \right)' = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)!} \cdot \frac{\frac{\sqrt x}{2x} \cdot x^n - \sqrt x \cdot n \cdot x^{n-1}}{(x^n)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)!} \cdot \frac{\frac 1 2 \sqrt x \cdot x^{n-1} - \sqrt x \cdot n \cdot x^{n-1}}{(x^n)^2} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)!} \cdot \frac{(\frac 1 2 - n) \cdot \sqrt x \cdot x^{n-1}}{x^{2n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (-1)^{n-1} \cdot \frac{(2n - 3)!}{4^{n-1}(n-2)!} \cdot (-1) \cdot \frac 1 4 \cdot (4n-2) \cdot \frac{\sqrt x}{x^{n+1}} = (-1)^{n} \cdot \frac{(2n - 3)!}{4^{n}(n-2)!} \cdot \frac{(n-1) \cdot 2 (2n-1)}{n-1} \cdot \frac{\sqrt x}{x^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Noch eine Zeile und du bist am Ziel. smile

smile

11.12.2012, 11:16

Joey98

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im vorletzten bruch das ( n-1) rauskürzen!?
aber dann bleibt ja noch dieses 2 ( 2n-1) stehen!?

sitz an einer ähnlichen aufgabe und bin etwas verwirrt^^

11.12.2012, 11:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von Joey98
im vorletzten bruch das ( n-1) rauskürzen!?

Nee, das (n-1) wird dringend gebraucht. Stattdessen wird im Zähler aus (n-1) * 2 ein (2n-2) gemacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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