Rang, Bild und Kern der Matrix

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sevenelf Auf diesen Beitrag antworten »
Rang, Bild und Kern der Matrix
Meine Frage:
Hallo,

meine Aufgabe:
Gegeben ist die Matrix

B=

Bestimmen Sie Rang, Bild und Kern der Matrix B. Sind die Spaltenvektoren von B linear unabhängig? Begründen Sie Ihre Aussage.

Meine Ideen:
Also ich habe versucht die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen und habe dadurch folgendes rausbekommen.

Welchen Rang hat jetzt die Matrix?
Wie bestimme ich das Bild und den Rang der Matrix?

Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo



schau dir die Definitionen für Rang, Bild und Kern einer Matrix einer lineare Abbildung an. Und mache dir am besten auch nochmal klar, was genau eine lineare Abbildung ist und was eine Matrix damit zu tun hat. Wenn du es nicht schon weißt. Augenzwinkern



Der Rang einer Matrix B ist die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten (bzw. Zeilen) einer Matrix B.

Oder, was den selben Sinn ergibt, da deine Matrix hier eine 4x4-Matrix ist: Wenn das LGS genau eine Lösung hat,

nämlich

die trivial Lösung.

Diese Lösung ist dann auch gleich dem Kern von A, siehe Definition Kern.

Nun musst du also nur noch dein Gauß-Ergebnis richtig interpretieren.

Für das Bild(f) brauchst du dann eine Basis des Vektorraumes der deiner linearen Abbildung entspricht.


Grüße
sevenelf Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort. Freude

Der Kern von A ist tatsächlich 0. Wie schreibe ich das am besten? Kern(A)=0?

Ist der Rang der Matrix 4, da ich keine 0-Zeilen habe?

Könntest du mir das mit dem Bild vielleicht anhand eines Beispiels nochmal erklären, ich verstehe einfach nicht was ich da machen soll.

Vielen Dank. Augenzwinkern
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Bitteschön smile


ist eine Menge von Vektoren.

in diesem Fall hat nur ein Element: das ist einfach aufzuschreiben Augenzwinkern

nach Defninition ist , wenn der Definitionsbereich der Abbildung f ist.




Ja, die Matrix hat maximalen Rang. Das sieht man am Gauß-Ergebnis, denn es ist nach Reduktion keine Variable frei wählbar.




Im Prinzip weißt du jetzt schon wie "groß" das ist. Das ergibt sich aus dem Dimensionssatz für lineare Abbildungen.



das ist der Definitonsbereich aus dem man die Urbilder nimmt.

denn ein Punkt hat die Dimension 0.

also ergbit sich

dann sieht man, dass das Bild der Abbildung, also alle Vektoren der ganze Raum sein muss, wenn eine reelle 4x4-Matrix ist.
sevenelf Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die sehr ausführliche Erklärung Gott

Wie schreibe ich das mit dem Bild am besten auf?

Bild(B)= {, }

Stimmt meine Vermutung, dass die Spaltenvektoren der Matrix linear unabhängig sind, da kein Vektor durch eine Linearkombination der anderen darstellbar ist?
sevenelf Auf diesen Beitrag antworten »

Kann denn keiner meine Frage beantworten??? unglücklich
 
 
sevenelf Auf diesen Beitrag antworten »

Hab die Aufgabe jetzt selber gelöst Big Laugh
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