Tangentialraum bestimmen

06.12.2012, 16:34

alcardaalanda

Tangentialraum bestimmen

Hallo zusammen.

Ich arbeite mich gerade durch Hyperebenen und Tangentialräume und hänge dabei fest, ein Beispiel dazu nachzuvollziehen.

Sei $\begin{eqnarray*} g(x,y) = x^2+y^2-1 \end{eqnarray*}$

Dann ist natürlich $\begin{eqnarray*} \nabla g(x,y) = (2x,2y) \end{eqnarray*}$

Weiter ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} z-<\nabla g(a),(x,y)> = z-2a_1x-2a_2y \\ =g(a) - <\nabla g(a),a>=a_1^2+a_2^2-1-2a_1^2-2a_2^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt der Schritt, den ich nicht verstehe. Weiter wird nämlich gefolgert, dass
$\begin{eqnarray*} z=2a_1(x-a_1)+2a_2(x-a_2)\ ,\mbox{da} \ a_1^2+a_2^2=1 \end{eqnarray*}$

Wieso zur Hölle ist denn hier $\begin{eqnarray*} a_1^2+a_2^2=1 \end{eqnarray*}$ .
Vielleicht kann mir ja jemand Licht ins Dunkel bringen, denn wie man darauf schließt, weiß ich absolut nicht.

06.12.2012, 19:18

weisbrot

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RE: Tangentialraum bestimmen

Zitat:

Wieso zur Hölle ist denn hier $\begin{eqnarray*} a_1^2+a_2^2=1 \end{eqnarray*}$ .

ja dazu wäre die information ganz hilfreich was a ist (hat per definition diese eigenschaft - also ist vllt einfach nur nullstelle von g).
lg

06.12.2012, 19:47

alcardaalanda

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Wieso hat a per Definition diese Eigenschaft? Ich kann dazu in meinem Skript nichts finden und auch nicht, dass diese Eigenschaft so festgelegt wurde.

Gesucht wird in diesem Beispiel der Tangentialraum an den Graphen von g in $\begin{eqnarray*} (a,(g(a_1,a_2))^T \end{eqnarray*}$

Später steht dann plötzlich da: $\begin{eqnarray*} a=(a_1,a_2,0) \end{eqnarray*}$ . Dabei muss a doch ein Vektor mit zwei Einträgen sein, oder?
Scheinbar stehe ich völlig auf dem Schlauch...

06.12.2012, 20:06

weisbrot

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das war nur eine vermutung (wurde vllt nicht ganz klar, sry), denn es ist halt immernoch nicht klar was a genau ist.

Zitat:

Später steht dann plötzlich da: $\begin{eqnarray*} a=(a_1,a_2,0) \end{eqnarray*}$ . Dabei muss a doch ein Vektor mit zwei Einträgen sein, oder?

ja das ist ebenfalls nicht klar, vorallem wenn man den zusammenhang nicht kennt.
also ich denke du musst ein bisschen mehr informationen zur aufgabe geben damit ich eine gute antwort geben kann.
lg

06.12.2012, 20:26

alcardaalanda

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Mehr Infos stehen wirklich nicht dort.

Das ist im Skript ein Beispiel, wie man den Tangentialraum bestimmt.

Nach den von mir bereits geposteten Umformungen steht dann lediglich noch, dass der Tangentialraum in $\begin{eqnarray*} a = (a_1,a_2,0)^T: \left\{ (x,y,z)^T: z=2a_1(x-a_1)+2a_2(y-a_2)\right\} \end{eqnarray*}$ ist.

Abschließend werden noch angegeben:

Ein Normalenvektor: $\begin{eqnarray*} (2a_1,2a_2,-1)^T \end{eqnarray*}$ und eine Basis des Tangentialraums:
$\begin{eqnarray*} \left\{ (a_2,-a_1,0)^T,(a_1,a_2,2)\right\} \end{eqnarray*}$

Diese kann ich irgendwie auch nicht nachvollziehen. Warum ist der eine Vektor transponiert und der andere nicht? Und wie kommt man denn überhaupt auf diese Basis? Das ganze Beispiel erscheint mir seltsam...

06.12.2012, 20:33

weisbrot

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mh, ok, dann macht es aber keinen sinn von g(a) zu sprechen, aber vllt meint man dort dann einfach g(a_1,a_2), ist nicht schön, macht man aber manchmal.
ich hab jetzt aber leider keine zeit mehr, ich gucks mir später nochmal an, von mir aus kann auch jemand anders weiter machen.
lg

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