Multiplizieren eines bestimmten Integrals

06.12.2012, 16:52

Bibii

Multiplizieren eines bestimmten Integrals

Meine Frage:
Hallo!
Ich sitze nun schon recht lang vor dieser Aufgabe, und denke dass ich auf der Leitung stehe.
Also ich suche den Flächeninhalt einer Funktion mit x=2 und x-Achse als Grenze und Nullpunkt (0/0). Dementsprechend müsste ich dies lösen:

$\begin{eqnarray*} A= \int_0^2 \! x\cdot e^{-x} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich glaube allerdings, noch keine Multiplikation mit einem bestimmten Integral gemacht zu haben.

Laut Lösungsbuch müsste die Lösung $\begin{eqnarray*} 1- \frac{3}{e^{2} } = 0,59399 \end{eqnarray*}$ sein.

Meine Ideen:
Zu anfang habe ich substituiert, also $\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! x\cdot e^{z} \,\cdot -dz \end{eqnarray*}$ (nur mit der Grenze -2, die sich irgendwie nicht darstellen lässt).
Das funktioniert leider nicht, dann habe ich es mit der Multiplikation des unbestimmten Integrals versucht, das aber nicht funktioniert, da ja vor dem Integral dann noch unbeachtete Unbekannte sind.

Ich danke für jede Hilfe

06.12.2012, 17:42

hollisch

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schonmal mit partieller Integration probiert?

06.12.2012, 17:42

Mulder

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RE: Multiplizieren eines bestimmten Integrals

Zitat:

Also ich suche den Flächeninhalt einer Funktion mit x=2 und x-Achse als Grenze und Nullpunkt (0/0).

Das ist aber ziemlich wirr formuliert...

Dein Integral kannst du jedenfalls mit partieller Integration lösen.

06.12.2012, 17:45

zyko

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RE: Multiplizieren eines bestimmten Integrals
Dein Integral kann mit partieller Integration gelöst werden (zunächst $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ integrieren).

Anmerkung zur Variablensubstitution: überall wo vorher x stand einschließlich dx, auch bei den Grenzen, muss nach der Substitution die neue Variable stehen, bei den Integrationsgrenzen natürlich der Wert der neuen Variablen. x darf also nirgends mehr vorkommen.
$\begin{eqnarray*} z=g(x) \\ x=g^{-1}(z)\\ dx = \frac{d g^{-1}(z)}{dz}dz\\ \int_a^b f(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(g^{-1}(z)) \frac{d g^{-1}(z)}{dz}dz\\ \end{eqnarray*}$
Das letzte Integral kann nun nach z integriert werden.

06.12.2012, 17:46

hollisch

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Verbesserungsvorschlag: gesucht ist die Fläche, die vom Graphen, der x-Achse, der y-Achse und der Vertikalen x=2 eingeschlossen wird.

06.12.2012, 18:33

Bibii

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Hallo, vielen Dank für eure liebe Hilfe! Ich bin wohl wirklich auf der Leitung gestanden, auf das hätte ich wirklich kommen müssen.
Um die Fragestellung zu überarbeiten: Ich suche den Flächeninhalt des Flächenstücks, das durch den Graph der Funktion f: $\begin{eqnarray*} y= \times \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$ , der x-Achse und der Geraden g: x=2 begrenzt wird und die Nullstelle (0|0) besitzt. So in der Art steht es in der Aufgabenstellung. Ich hoffe es ist dadurch verständlicher.
Gelöst habe ich es nun, dank euch, mit Substitution, in der ich auch x durch z definiert habe, wie zyko es mir beschrieben hat, und anschließend mit der partiellen Integration gelöst.

Danke für die Antworten und eure Geduld gegenüber einem Neuling Freude

06.12.2012, 19:32

Mulder

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Zitat:

Original von Bibii
So in der Art steht es in der Aufgabenstellung.

Ja, "so in der Art"... am besten ist es, wenn du deine Aufgabenstellung einfach 1 zu 1 wiedergibst, denn mit eigenen Worten klappt es ja nicht. So, wie du das jetzt beschreibst, suchst du ein "Flächenstück, das die Nullstelle (0|0) besitzt", was aber Blödsinn ist. Also zukünftig einfach immer den genauen Wortlaut wiedergeben.

Substitution ist hier eigentlich völlig unnötig. Ist nur zusätzliche Arbeit, die keinen wirklichen Nutzen bringt.

06.12.2012, 19:40

hollisch

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Okay, nach einiger Zeit weiß man, dass die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} -e^{-x}+C\quad,C\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heißen muss. Aber nutzen wir nicht alle insgeheim die Substitutionsmethode, wenn wir $\begin{eqnarray*} \int e^{-x}\,dx \end{eqnarray*}$ lösen? verwirrt

06.12.2012, 19:52

Bibii

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Du hast natürlich völlig recht Mulder, aber ich habe die Aufgabenstellung nicht wörtlich hier, sondern nur die Funktion, die Gerade, und ich weiß, dass der Flächeninhalt und das Volumen gesucht sind. Verzeihe mir bitte meinen Fehler Augenzwinkern

Ich benutze die Substitution, da ich den genauen Rechenweg noch angeben muss, und der bei uns, also den "Anfängern der Integration Big Laugh

" noch so aussehen muss/soll. Natürlich kann ich auch gleich die Stammfunktion hinschreiben, aber wenn ich dann jemandem erklären darf, wie ich denn auf sowas komme, darf ich erst recht den Rechenweg dazuschreiben Augenzwinkern

Und da ich sehr befürchte, dass ich dieses Beispiel vorrechnen muss, da ich vermutlich die einzige bin, die es nun richtig hat, aus dem einfachen Grund, dass wir es in der Art noch nie gemacht haben - weshalb ich euch ja um Hilfe gebeten habe smile

- ist es sinnvoll, gleich alles "verständlich" aufzuschreiben Freude

So ist das eben in der Maturaklasse verwirrt

Vielen Dank nochmals für eure Hilfe Freude

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