Zuordnungsvorschrift für Lucas-Polynome

06.12.2012, 16:56

Kartonaufkleber

Zuordnungsvorschrift für Lucas-Polynome

Für ein Poylnom n-ten Grades gilt folgende allgemeine Zuordnungsvorschrift.

$\begin{eqnarray*} P_{n}\left(x\right) = \sum\limits_{i=1}^n a_{i} \cdot x^{i} \end{eqnarray*}$

Gibt es eine solche Zuordnungsvorschrift auch für (nachfolgend explizit dargestellte) Lucas-Polynome n-ten Grades?

$\begin{eqnarray*} L_{n}\left(x\right) = 2^{-n} \cdot \left[\left(x - \sqrt{x^{2} + 4}\right)^{n} + \left(x + \sqrt{x^{2} + 4}\right)^{n}\right] \end{eqnarray*}$

Also irgend etwas in der Form

$\begin{eqnarray*} L_{n}\left(x\right) = \sum\limits_{i=1}^n ... \end{eqnarray*}$ ,

vermutlich mit den Koeffizienten (siehe unter oeis.org/A034807 und unter mathworld.wolfram.com/LucasPolynomial.html)
$\begin{eqnarray*} L_{1} \Rightarrow 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_{2} \Rightarrow 1, 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_{3} \Rightarrow 1, 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_{4} \Rightarrow 1, 4, 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_{5} \Rightarrow 1, 5, 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_{6} \Rightarrow 1, 6, 9, 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_{7} \Rightarrow 1, 7, 14, 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_{8} \Rightarrow 1, 8, 20, 16, 2 \end{eqnarray*}$
usw.

06.12.2012, 17:17

Mystic

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RE: Zuordnungsvorschrift für Lucas-Polynome

Zitat:

Original von Kartonaufkleber
Für ein Poylnom n-ten Grades gilt folgende allgemeine Zuordnungsvorschrift.

$\begin{eqnarray*} P_{n}\left(x\right) = \sum\limits_{i=1}^n a_{i} \cdot x^{i} \end{eqnarray*}$

Wieso ist das allgmein? Für diese Polynome gilt $\begin{eqnarray*} P_n(0)=0 \end{eqnarray*}$ und das ist jetzt schon sehr speziell.. verwirrt

Zitat:

Original von Kartonaufkleber
Gibt es eine solche Zuordnungsvorschrift auch für (nachfolgend explizit dargestellte) Lucas-Polynome n-ten Grades?

$\begin{eqnarray*} L_{n}\left(x\right) = 2^{-n} \cdot \left[\left(x - \sqrt{x^{2} + 4}\right)^{n} + \left(x + \sqrt{x^{2} + 4}\right)^{n}\right] \end{eqnarray*}$

Also irgend etwas in der Form

$\begin{eqnarray*} L_{n}\left(x\right) = \sum\limits_{i=1}^n ... \end{eqnarray*}$ ,

Hm, schon wieder fehlt das konstante Glied.. Das macht mich echt ratlos... Denn ansonsten hätte ich einfach gesagt, das man obige Formel mit dem Binomischen Lehrsatz einfach ausmultipliziert, woraufhin dann beim Vereinfachen alle Wurzelterme wegfallen... Aber so... traurig

Zitat:

Original von Kartonaufkleber
vermutlich mit den Koeffizienten (siehe unter oeis.org/A034807 und unter mathworld.wolfram.com/LucasPolynomial.html )

Jetzt versteh ich gar nichts mehr... In obigem Link haben ja 50% der Lucas-Polynome auch einen konstanten Term... geschockt

06.12.2012, 17:33

Kartonaufkleber

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RE: Zuordnungsvorschrift für Lucas-Polynome
Ja, stimmt, ich meine natürlich von i = 0 bis ...

Ich will es ja gerade nicht als Binom ausmultiplizieren, sondern suche eben nach einer Summenvorschrift.

06.12.2012, 17:47

Mystic

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RE: Zuordnungsvorschrift für Lucas-Polynome

Zitat:

Original von Kartonaufkleber
Ja, stimmt, ich meine natürlich von i = 0 bis ...

Aso dann, warum sagst das nicht gleich... Schau mal hier die Formel ganz oben und setz dort $\begin{eqnarray*} \alpha=-1 \end{eqnarray*}$ ...

06.12.2012, 18:02

Kartonaufkleber

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RE: Zuordnungsvorschrift für Lucas-Polynome
Danke, das war es, was ich gesucht habe!!!

06.12.2012, 18:24

Mystic

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RE: Zuordnungsvorschrift für Lucas-Polynome

Zitat:

Original von Kartonaufkleber
Danke, das war es, was ich gesucht habe!!!

Gern geschehen... Wink

Und das nächste mal bitte keine Romane im Eingangsposting erzählen... Die Frage nach einer expliziten Formel für Lucas-Polynome hätte genügt... Augenzwinkern

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