Asymptote oder nicht?

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11.02.2007, 19:59	Ulti	Auf diesen Beitrag antworten »
Asymptote oder nicht? Hallo! Ich habe die Funktion f(x)=x*ln(1/x). Der Definitionsbereich wäre in diesem Fall alle positiven reellen Zahlen. Wenn ich dann das Verhalten für x gegen die Definitionsgrenzen untersuche, ergibt sich für x gegen unendlich: f(x) gegen minus unendlich. Für x gegen 0: f(x) gegen 0. Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht genau weiß, ob x=0 dann eine Asymptote ist, da der Graph der Funktion sich ja an die y-Achse anschmiegt, aber nie erreicht. Jedoch geht die Funktion nur gegen einen bestimmten Punkt. Schon mal danke im Voraus! mfg, Ulti
11.02.2007, 20:05	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Als aller erstes würde ich mal den Defintionsbereich überdenken. Setz z.B mal -5 ein.
11.02.2007, 20:07	Ulti	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann wäre das -5*ln(-1/5) Und den ln von einer negativen Zahl kann man nicht berechnen.
11.02.2007, 20:12	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Also was heißt das jetzt für den Definitionsbereich?
11.02.2007, 20:17	Ulti	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle positiven reellen Zahlen, wie ich bereits sagte.
11.02.2007, 20:18	Ulti	Auf diesen Beitrag antworten »

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11.02.2007, 20:22	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man meine Lesefähigkeit nimmt schon wieder ab Bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ kannst du eine stetige Ergänzung vornehmen, aber Asymmptote ist da keine in Sicht.
11.02.2007, 20:27	Ulti	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke, jetzt weiß ich ja, dass es keine Asymptote ist. Aber was bringt eine stetige Ergänzung, bzw was ist das genau? x=0 ist ja eine Unstetigkeitsstelle. Und noch eine Frage: bist du wirklich 16? Wenn ja, dann hast du einiges drauf.
11.02.2007, 20:33	basd	Auf diesen Beitrag antworten »
Begründe das du für x gegen unendlich keine Asymptote hast. Die Funktion y = -x geht auch gegen minus unendlich für x gegen unendlich .. du solltest das Verhalten der Steigung untersuchen
11.02.2007, 20:37	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Also im "Rohzustand" ist die Funktion für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ nicht definiert, also ist sie weder stetig noch unstetig. Man kann jetzt allerdings den Grenzwert gegen Null bilden und dann den Wert extra definieren: $\begin{eqnarray} f(x)= \begin{cases} x \ln \frac{1}{x} & x<0 \\ 0 & x=0\end{cases} \end{eqnarray}$ Jetzt ist die Funktion auf $\begin{eqnarray} \mathbb R_0^+ \end{eqnarray}$ stetig und du bist (im Idealfall) glücklich.
11.02.2007, 20:39	Ulti	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei y=-x ist -x ja nicht wirklich eine Asymptote, sonst könntest du ja bei jeder Funktion sagen, dass dieselbe Funktion ebenfalls Asymptote ist. Bei f(x)=x*ln(1/x) für x gegen unendlich geht der Faktor x gegen unendlich und der Faktor ln(1/x) gegen minus unendlich. Da dies eine Multiplikation ist, geht die Funktion insgesamt gegen negativ unendlich. Und da für x gegen unendlich keine weitere Definitionslücke auftritt, und die Steigung immer größer wird (ich habe nach Wendestellen gesucht, aber es gibt keine), gibt es für x gegen unendlich keine Asymptote.
11.02.2007, 20:41	Ulti	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke für die Erklärung, pseudo-nym.
11.02.2007, 20:45	basd	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur mal als Beispiel, nimm die Funktion $\begin{eqnarray} g(x) = e^{-x} + x \end{eqnarray}$ Die Funktion $\begin{eqnarray} h(x) = x \end{eqnarray}$ ist Asymptote zu f. Es ist auch so dass jede differenzierbare Funktion für sich selbst eine Asyptote ist. Eine Asymptote kannst du ja so finden indem du eine Funktion a suchst, so dass $\begin{eqnarray} f - a \end{eqnarray}$ für x gegen unendlich gegen Null geht. Erkläre deine Begründung mittels der Betrachtung von lim x gegen unendlich von der Ableitung deiner Funktion, somit kannst du feststellen ob du eine Gerade als Asymptote hast.
11.02.2007, 20:48	chiffre2	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mal ne Frage: Wenn x=0 nicht defeniert ist, liegt dann nicht eine Unstetigkeitsstelle vor?
11.02.2007, 20:52	Ulti	Auf diesen Beitrag antworten »
@basd: die Ableitung ist f'(x)=ln(1/x)-1. Für x gegen unendlich geht ln(1/x) gegen minus unendlich und -1 bleibt unverändert. Also geht die Steigung auch gegen minus unendlich.
11.02.2007, 21:06	basd	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut damit hast du gezeigt dass keine Gerade als Asymtote für deine Funktion bei x gegen unendlich in Frage kommt
11.02.2007, 21:10	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Wobei das nicht wirklich die Frage war
11.02.2007, 21:14	basd	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt jetzt wo ich mir die Frage nochmal richtig durchgelesen habe ... ups sorry
11.02.2007, 21:32	Ulti	Auf diesen Beitrag antworten »
Macht nichts. War eigentlich doch ganz gut, denn dadurch hab ich nämlich noch was neues dazugelernt.^^
11.02.2007, 21:33	basd	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann, okay, lese in Zukunft genauer

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