Soblevräume und Testfunktionen

06.12.2012, 19:44	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
Soblevräume und Testfunktionen Hallo alle miteinander, ich arbeite gerade an einem Vortrag und da ich mit Sobolevräumen etwas auf Kriegsfuß stehe, habe ich eine Frage zu einer kurzem Bemerkung aus dem Buch, mit dem ich arbeite. Erstmal die Definitionen, mit denen hier gearbeitet wird. Der Sobolevraum $\begin{eqnarray} H^{1}(\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ ist definiert durch: $\begin{eqnarray} H^{1}(\mathbb{R}^{n} = \{ u \in L^{2}(\mathbb{R}^{n}): \nabla u \in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\} \end{eqnarray}$ mit Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^{n}} (\nabla u \cdot \nabla v + uv) \end{eqnarray}$ und Norm $\begin{eqnarray} (\int_{\mathbb{R}^{n}} \|\nabla u\|^{2} \cdot \|u\|^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H^{1}_{0}(\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ ist dann definiert durch den Abschluss der Testfunktionen $\begin{eqnarray} D(\mathbb{R}^{n}= \{u \ in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n}) : supp u kompakt\} \end{eqnarray}$ bzgl. der $\begin{eqnarray} H^{1}(\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ -Norm Dann ist noch $\begin{eqnarray} D^{1,2}(\mathbb{R}^{n}=\{u \in L^{2^{}}(\mathbb{R}^{n} : \nabla u \in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} 2^{}= 2n/(n-2) \end{eqnarray}$ mit der Norm $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^{n}} (\nabla u \cdot \nabla v) \end{eqnarray}$ und Norm $\begin{eqnarray} (\int_{\mathbb{R}^{n}} \|\nabla u\|^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Analog ist dann $\begin{eqnarray} D^{1,2}_{0}(\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ gegeben durch den Abschluss der Testfunktionen bzgl. der $\begin{eqnarray} D^{1,2}(\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ -Norm Also das mit dem Abschluss ist mir schon klar. Das bedeutet insbesondere, dass die Testfunktionen Dicht in den jeweiligen Räumen liegen und somit, dass man zu jeder Funktion eine Testfunktion in der Umgebung findet oder anders ausgedrückt, dass man jede Funktion mit Testfunktionen approximieren kann. Jetzt ist noch die Poincare-Ungleichung in folgender Form gegeben:Für $\begin{eqnarray} \|\Omega\| < \infty \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} inf_{u \in H^{1}_{0}(\Omega), \|u\|_{2}=1} \| \nabla u \|^{2}_{2} >0 \end{eqnarray}$ Soweit so gut, nun steht als Bemerkung, dass es klar sei, dass $\begin{eqnarray} H^{1}_{0}(\Omega} \ subset D^{1,2}_{0}(\Omega) \end{eqnarray}$ und das versteh ich nicht ganz. Wie zeige ich denn hier genau die Teilomengeninkjlusion, wenn die Mengen über einen Abschluss definiert sind? Also ohne die Abschlüsse ist schon klar, weil ja $\begin{eqnarray} 2^{} > 2 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} L^{2} \subset L^{2^{}} \end{eqnarray}$ . Muss ich dann für die Abschlüsse zeigen, dass eine Funktion aus $\begin{eqnarray} H^{1}_{0}(\Omega} \end{eqnarray}$ , die also durch Testfunktionen in der $\begin{eqnarray} H^{1}(\Omega} \end{eqnarray}$ -Norm approximierbar ist, auch automatisch in der $\begin{eqnarray} D^{1,2}(\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ -Norm approximierbar ist und das wars? Weiter heißt es übrigens noch, dass wenn $\begin{eqnarray} \|\Omega\| < \infty \end{eqnarray}$ automatisch aus der Poincare-Ungleichung Gleichheit anstatt der Teilmengen-Relation folgt. Ich denke, das wird mir schon klar sein, wenn mir das Prinzip beim ersten Teil klar ist. Ich würde mich über Antworten freuen!
06.12.2012, 21:20	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Soblevräume und Testfunktionen Ich hab mich zwar mittlerweile registriert, kann aber trotzdem nicht die edit-funktion nutzen, deswegen hier nochmal (hoffentlich) ohne die latex-Fehler: Ja und Omega ist übrigens eine offene Teilmenge vom R hoch n Hallo alle miteinander, ich arbeite gerade an einem Vortrag und da ich mit Sobolevräumen etwas auf Kriegsfuß stehe, habe ich eine Frage zu einer kurzem Bemerkung aus dem Buch, mit dem ich arbeite. Erstmal die Definitionen, mit denen hier gearbeitet wird. Der Sobolevraum $\begin{eqnarray} H^{1}(\mathbb{R}^{n}) \end{eqnarray}$ ist definiert durch: $\begin{eqnarray} H^{1}(\mathbb{R}^{n}) = \{ u \in L^{2}(\mathbb{R}^{n}): \nabla u \in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\} \end{eqnarray}$ mit Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^{n}} (\nabla u \cdot \nabla v + uv) \end{eqnarray}$ und Norm $\begin{eqnarray} (\int_{\mathbb{R}^{n}} \|\nabla u\|^{2} + \|u\|^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H^{1}_{0}(\mathbb{R}^{n}) \end{eqnarray}$ ist dann definiert durch den Abschluss der Testfunktionen $\begin{eqnarray} D(\mathbb{R}^{n})= \{u \ in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n}) : supp u kompakt\} \end{eqnarray}$ bzgl. der $\begin{eqnarray} H^{1}(\mathbb{R}^{n}) \end{eqnarray}$ -Norm Dann ist noch $\begin{eqnarray} D^{1,2}(\mathbb{R}^{n})=\{u \in L^{2^{}}(\mathbb{R}^{n}) : \nabla u \in L^{2}(\mathbb{R}^{n}\} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} 2^{}= 2n/(n-2) \end{eqnarray}$ mit der Norm $\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^{n}} (\nabla u \cdot \nabla v) \end{eqnarray}$ und Norm $\begin{eqnarray} (\int_{\mathbb{R}^{n}} \|\nabla u\|^{2})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Analog ist dann $\begin{eqnarray} D^{1,2}_{0}(\mathbb{R}^{n}) \end{eqnarray}$ gegeben durch den Abschluss der Testfunktionen bzgl. der $\begin{eqnarray} D^{1,2}(\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ -Norm Also das mit dem Abschluss ist mir schon klar. Das bedeutet insbesondere, dass die Testfunktionen Dicht in den jeweiligen Räumen liegen und somit, dass man zu jeder Funktion eine Testfunktion in der Umgebung findet oder anders ausgedrückt, dass man jede Funktion mit Testfunktionen approximieren kann. Jetzt ist noch die Poincare-Ungleichung in folgender Form gegeben:Für $\begin{eqnarray} \|\Omega\| < \infty \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} inf_{u \in H^{1}_{0}(\Omega), \|u\|_{2}=1} \| \nabla u \|^{2}_{2} >0 \end{eqnarray}$ Soweit so gut, nun steht als Bemerkung, dass es klar sei, dass $\begin{eqnarray} H^{1}_{0}(\Omega) \subset D^{1,2}_{0}(\Omega) \end{eqnarray}$ und das versteh ich nicht ganz. Wie zeige ich denn hier genau die Teilomengeninkjlusion, wenn die Mengen über einen Abschluss definiert sind? Also ohne die Abschlüsse ist schon klar, weil ja $\begin{eqnarray} 2^{} > 2 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} L^{2} \subset L^{2^{}} \end{eqnarray}$ . Muss ich dann für die Abschlüsse zeigen, dass eine Funktion aus $\begin{eqnarray} H^{1}_{0}(\Omega) \end{eqnarray}$ , die also durch Testfunktionen in der $\begin{eqnarray} H^{1}(\Omega) \end{eqnarray}$ -Norm approximierbar ist, auch automatisch in der $\begin{eqnarray} D^{1,2}(\mathbb{R})^{n} \end{eqnarray}$ -Norm approximierbar ist und das wars? Weiter heißt es übrigens noch, dass wenn $\begin{eqnarray} \|\Omega\| < \infty \end{eqnarray}$ automatisch aus der Poincare-Ungleichung Gleichheit anstatt der Teilmengen-Relation folgt. Ich denke, das wird mir schon klar sein, wenn mir das Prinzip beim ersten Teil klar ist. Ich würde mich über Antworten freuen!

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