Reell komplex differenzierbare Funktion

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Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »
Reell komplex differenzierbare Funktion
Hallo,
habe mit folgender Aufgabe ein Problem:

Sei im Punkt reell (komplex) di fferenzierbar. Zeigen
Sie, dass dann

für reelle (komplexe)  gilt.

Ansatz:
Haben als Tipp bekommen, dass man erstmal auf die linke Seite bringt.

Also:



Jetzt verstehe ich nicht so ganz, wie ich da jetzt weitermachen muss...

Wäre für jede Hilfe dankbar.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reell komplex differenzierbare Funktion
Zitat:
Ansatz: Haben als Tipp bekommen, dass man erstmal auf die linke Seite bringt. Also: Jetzt verstehe ich nicht so ganz, wie ich da jetzt weitermachen muss...

mhh, will man etwas der art A => B zeigen ist man meistens schlecht beraten bei B anzufangen. ich würde vorschlagen du nimmst dir die definition für komplexe differenzierbarkeit in einer geeigneten form und versuchst diese auf ds zu zeigende umzuformen - das würde ich zumindet als leichter empfinden als andersrum.
lg
 
 
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reell komplex differenzierbare Funktion
Ok. Hier müssen einfach nur Dinge umgestellt werden.

1) Was bedeutet es, dass die Funktion f im Punkt x reell differenzierbar ist ?

2) Was heißt eigentlich o(h) ?

Du sollst doch zeigen, dass ist, also ,,schnell genug fällt" für h gegen 0.

edit: Entschuldigung, als ich den Beitrag zu schreiben anfing, hatte noch niemand geantwortet.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reell komplex differenzierbare Funktion
Hallo,

Danke für die Antworten.

Da ich mein Augenmerk auf Physik lege(Physikstudent) habe ich in Mathematik etwas den Faden verloren. Aus dem Grund möchte ich mal eine Aufgabe hier in Matheboard Schritt für Schritt bearbeiten und zu jedem Schritt ein Kommentar erfahren. Iist zwar aufwendig, aber ich denke, dass mir das helfen wird.

So:
Zu beweisen ist, dass die unten stehende Gleichung gilt.
Angegeben ist, dass f reell komplex differenzierbar ist, das bedeutet, dass ich das nicht nachweisen muss, aber ich kann die Definition nutzen, um die Gleichung zu beweisen.

Damit eine Funktion komplex differenzierbar ist, muss gelten:



Ist dieser Schritt schon mal richtig?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reell komplex differenzierbare Funktion
ja genau! als nächstes würde man gern den grenzwert loswerden wollen. wenn du dann weißt was dieses o(h) bedeutet und dir auch die definition von grenzwerten etwa klar ist dann solltest du damit etwas basteln könnenAugenzwinkern (denk dabei immer daran wie das später aussehen soll).
lg
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

okay gut.

Leider habe ich nicht die leiseste Ahnung, wie ich da jetzt den Grenzwert loswerde...

Muss ich es vielleicht mit der Definition der Häufungspunkte beschreiben? Bringt mir das was?
Weil später habe ich ja vor dem zweiten Argument ein h stehen, vielleicht ist das der Häufungspunkt? ...

Danke!
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Leider habe ich nicht die leiseste Ahnung, wie ich da jetzt den Grenzwert loswerde...

das ist auch nicht schlimm, dafür braucht man vllt etwas übung.
und man muss wissen was es mit diesem o(h) auf sich hat - weißt dus?
Zitat:
Muss ich es vielleicht mit der Definition der Häufungspunkte beschreiben? Bringt mir das was? Weil später habe ich ja vor dem zweiten Argument ein h stehen, vielleicht ist das der Häufungspunkt? ...

ist mit nicht ganz klar was du meinst. h ist jedenfalls hier nicht häufungspunkt irgendeiner folge (ich meine du betrachtest hier doch keine folgen; außer im grenzwertausdruck - da ist h selbst aber im prinzip eine folge die gegen 0 konvergiert).
lg
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reell komplex differenzierbare Funktion
Das ist leider etwas, dass ich nicht weiß. Sorry..

Möchtest du es mir erklären?

Vielleicht komme ich dann selbst auf die Lösungsmile

Danke schonmalsmile

lg

chris
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reell komplex differenzierbare Funktion
solltest du eigendlich wissen wenn du soeine aufgabe bearbeiten willst, sonst wird das eben schwierig. du kannst das nachlesen unter "landau-symbol" bzw. "o-notation".
die bedeutung/verwendung ist aber nicht immer ganz eingeutig, deswegen erklär ichs mal kurz: o(h) wird hier geschrieben stellvertretend für irgendeinen term (funktion in h) der (hier: für h gegen 0) echt schneller gegen 0 strebt als die funktion h selbst, das bedeutet . man sagt also für eine funktion oder folge mit dieser eigenschaft dass sie element von o(h) ist, aber auch - wie hier - sagt man sie ist gleich o(h) und schreibt dann o(h) anstatt der eigendlichen funktion.
dann kann man sich überlegen wie man soeinen grenzwertausdruck - vllt unter hilfe dieser notation - etwas umschreiben kann, um damit hier die gewünschte umformung zu bekommen.
lg
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, ich kann sagen das o(h), wenn h gegen Null strebt =0 ist?

Dann wäre doch meine Umformung vom Anfang richtig oder?

Dann hätte ich also:



und dann:



dann weiß ich, dass der letzte Ausdruck gegen 0 läuft.

heißt ich hätte :


so wie vorher schon gesagt, ist eine Funktion komplex differenzierbar, wenn gilt:



so:

Kann ich nun den rechten limes rüberziehen und dann mit dm linken verknüpfen?

Also:



Jetzt komme ich nicht weiter ...:/
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das heißt, ich kann sagen das o(h), wenn h gegen Null strebt =0 ist?

ja, wie gesagt sogar o(h)/h -> 0.

was du machen möchtest ist das nehmen: , umstellen zu , grenzwert betrachten und du bekommst (weil 0(h)/h gegen 0 strebt): .
aber das ist eben die andere richtung der äquivalenz dieser beiden diff.barkeitsdefinitionen. du sollst ja die rückrichtung zeigen; wenn du den beweis dann so aufziehst musst du eben an der stellen mit dem grenzwert-nehmen noch begründen warum das auch äquivalent ist.
lg
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reell komplex differenzierbare Funktion
Zitat:
Original von weisbrot
mhh, will man etwas der art A => B zeigen ist man meistens schlecht beraten bei B anzufangen.

Macht auch niemand.
Am einfachsten wäre es, zu zeigen, dass in für liegt, also war das "Umstellen" schon ganz gut.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reell komplex differenzierbare Funktion
stimmt, ist mir auch grad aufgefallen dass ich das ziemlich umständlich gemacht habunglücklich
danke für den einwand!
lg
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, wenn ich dann die andere Seite zeigen will, habe ich jetzt folgendes gemacht:







dann kann ich umschreiben in den Differenzenquotienten:



dann kann ich h rauskürzen und den limes drüberlaufen lassen und komme dann auf:



und die linke Seite ist umgeformt dann auch 0 und ich habe ein Ausdruck:

da stehen.

Habe ich es dann bewiesen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast erstens nur bewiesen, dass die linke Seite in liegt (beachte die Definition von weisbrot weiter oben).
Und zweitens hast du eigentlich nicht einmal das, da du in der Definition von nicht dasselbe benutzen kannst wie im "großen" Grenzwert.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, jetzt ist es vorbei... Jetzt verstehe ich gar nichts mehr :/

Weissbrot hat doch weiter oben die rechte Seite bewiesen und ich möchte jetzt die andere zeigen.

Das sind also nicht die gleichen h's? hmm..

Dann war die Idee umzuschreiben, also verkehrt?

wie mache ich es denn nun?

Kann ich durch h teilen und dann umschreiben in ?

Bringt mir das etwas?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das hört sich schonmal recht gut an.
Die Definition von über den Grenzwert hast du gefunden?
Dann schreibe mal auf, von welchem Bruch du hier den Grenzwert betrachtest.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Definition von o(h) war doch eine Funktion g(x9 für die gilt:



So wenn ich dann, dass von oben alles anwende habe ich stehen:



Der rechte Ausdruck ist doch jetzt 0?

Und den linken kann ich durch h teilen und dann kann ich umschreiben in ?

Oder?

Dann hätte ich:


Nur dann gehe ich wieder davon aus, dass die beiden h's übereinstimmen...

hm, wo ist mein Fehler?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jefferson1992

Du meinst wohl .
Jetzt schreibe statt den Ausdruck .
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay)

Dann hätte ich:



Jetzt sind die Ausdrücke doch nicht gleich oder?

Oder darf ich jetzt die beiden h's kürzen und darf sagen, dass dann beide gegen 0 laufen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wer behauptet denn, dass die beiden Ausdrücke gleich sein sollen?
Sie sind zwar tatsächlich gleich, das interessiert hier aber nicht.
Und ja, du kannst kürzen.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss doch beweisen das der linke Ausdruck gegen 0 läuft oder? Und genau , dass habe ich doch bewiesen, wenn ich das h nun kürze oder?
Dann läuft doch rechts komplett gegen 0? und somit auch der rechte?
Oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht hier einzig und allein um

Was ist da rechts oder links?
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe doch den linken Ausdruck:



und den rechten Ausdruck



und den rechten Ausdruck ersetze ich durch:



und kürze dann h, sodass:




Habe ich es dadurch bewiesen?

Zu beweisen war doch, dass genau das gleiche ist wie , wenn h gegen Null läuft oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jefferson1992
Ich habe doch den linken Ausdruck:


Woher kommt der denn und was willst du damit?
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben doch am Anfang gesagt:



danach haben wir umgeformt:



dann haben wir den limes auf beiden Seiten gezogen:



so und dann haben wir durch ersetzt und bekommen:



dann haben wir das h gekürzt und kommen auf den Endausdruck:



Was genau ist jetzt daran verkehrt?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jefferson1992
danach haben wir umgeformt:


Ja, und das wollen wir zeigen.
Dazu muss gezeigt werden, dass die linke Seite nach Division durch gegen Null geht (für ).

Zitat:
dann haben wir den limes auf beiden Seiten gezogen:


Woher kommt denn nun das auf der rechten Seite? Und wieso bildest du hier den Grenzwert? Die Gleichung soll doch überhaupt erst gezeigt werden.

Zitat:
so und dann haben wir durch ersetzt und bekommen:

Wieso sollten wir das tun dürfen?

Zitat:
dann haben wir das h gekürzt und kommen auf den Endausdruck:


Hier hast du falsch gekürzt. Aber was soll das überhaupt bringen?
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

hm, dann bin ich dir falsch gefolgt....:/

okay, nochmal von neu.

Was mache ich nachdem ich auf die rechte Seite gebracht habe?

geht doch gegen 0 oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal...
Du möchtest zeigen, dass in liegt, denn du weißt, dass die zu zeigende Aussage dazu äquivalent ist.

1. Schreibe auf, was , , für eine Funktion bedeutet.

2. Stelle diesen Grenzwert für den oben genannten Term auf.

3. Bilde diesen Grenzwert.


geht zwar gegen Null, wenn gegen Null geht, aber das spielt keine Rolle.
Nachdem du auf die rechte Seite gebracht hast, kannst du ablesen, was du zeigen musst.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1.

Das würde doch bedeuten, dass wenn x gegen 0 läuft, dass dann die Funktion als Lösung entweder den Grenzwert 0 hat, oder eine feste Zahl.
Zum Beispiel die Funktion:

, dann läuft die Funktion für x gegen 0, gegen 3, ist das soweit richtig?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das scheinst du mit zu verwechseln...
für bedeutet aber .
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, ist mir jetzt nicht so ganz klar.. sollte ich mir dann aufjedenfall nochmal in einem Buch ansehen.

Ich brauche die Aufgabe für morgen, deshalb muss ich mich jetzt was beeilen.. leider.
Ich kann sie ja danach nochmal genau durchgehen.

Also, wenn das gilt, wäre doch der Grenzwert von dem Ausdruck von oben (2.)



Liege ich damit richtig?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau diese Gleichheit ist zu zeigen.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, wenn ich davon nun den Grenzwert bilde, bekomme ich doch:



dann h kürzen und den ersten Ausdruck umschreiben in

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die eine Klammer dort ein Gleichheitszeichen sein soll, stimmt das.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dann damit der Beweis vollständig, oder gibt es noch etwas anderes, dass ich beweisen muss?

sorry, für diese schwere Geburt. Ich bin einfach noch nicht so damit vertraut.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nur noch alles zusammenbringen und sauber aufschreiben. Alle einzelnen Schritte sind aber hier irgendwo aufgeführt.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar. Dann bedanke ich mich.

Schönen Restabend noch und Gute Nacht smile

Bis dann
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