Erwartungswert

07.12.2012, 00:11	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Nabend, ich sitze gerade an folgender Aufgabe: Eine ideale Münze werde n-mal geworfen. Für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ sein $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ die Zufallsgröße, die bei n Würfen die Anzahl der Landungen auf der Kopf-Seite der Münze angibt, und $\begin{eqnarray} Y_n \end{eqnarray}$ die Zufallsgröße, die bei n Würfen das Quadrat der Anzahl der Landungen auf der Kopf-Seite der Münze angibt. *a) Berechnen Sie den Erwartungswert von $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$* Hier habe ich mir zunächst gedacht, das Ganze einfach als Bernoulli-Kette mit Binomialverteilung zu modellieren. Als Erwartungswert kommt dann dementsprechend heraus $\begin{eqnarray} E( X_n ) = n \cdot p = n \cdot 0,5 = \frac{n}{2} \end{eqnarray}$ *b) Geben Sie eine möglichst einfache Formel für den Erwartungswert von $\begin{eqnarray} Y_n \end{eqnarray}$ an.* Hier habe ich Schwierigkeiten. Also ich denke mal es geht nichtz sowas aller (n/2)^2 Daher habe ich so angesetzt : $\begin{eqnarray} E( Y_n ) = \sum\limits_{k=0}^n k^2 \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 0,5^n = 0,5^n \cdot \sum\limits_{k=0}^n k^2 \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{1}{2^n} \cdot \sum\limits_{k=0}^n k^2 \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man weiß ja, dass $\begin{eqnarray} 2^n = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es ergibt sich also : $\begin{eqnarray} E ( Y_n ) = \frac{ \sum\limits_{k=0}^n k^2 \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} }{ \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} } \end{eqnarray}$ So an der Stelle hänge ich jetzt. Zunächstmal natürlich die Frage : Ist mein Ansatz generell richtig? Und dann : Wie kann ich diesen Quotienten schön umformen? Ich sehe nicht spontan, ob ich da einfach irgendwas rausholen kann oder so. Es stört halt leider das k^2 im Zähler.

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