Linearität des Integrals

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Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
Linearität des Integrals
Hallo!
Es geht bei dem Beispiel um folgendes:

)

Dann ist für alle die Abbildung

linear.

Ebenso ist

linear.

Zeigen Sie:

Als Tipp steht dann noch dabei : Sie benötigen nur elementare Eigenschaften des bestimmten Integrals stetiger Funktionen.

Das Problem ist, dass ich zu diesem Beispiel irgendwie so gar keinen Ansatz finde..muss ich zeigen, dass die Integrale nicht in der Menge liegen können, wegen der konstanten "c" beim integrieren?

Bitte um Hilfe, und vielen Dank schon im Voraus!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
Und was ist ?
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
Ach, ich brauche echt noch Übung beim schreiben mit Latex...Ich hab da natürlich die Mengenklammer vergessen.

Der Term soll die Lineare Hülle der Menge aller Funktionen darstellen.
d.h. dann also laut Definition

Das heisst dann doch eigentlich, dass es meine Aufgabe ist, zu zeigen, dass ich ein Integral nie in einer solche Form darstellen kann, oder?
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
keiner? =(
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
nehmen wir an, dass . Dann gibt es sowie so, dass
gilt, dh

für alle

nun kann man geeignet wählen, um einen Widerspruch zu erhalten
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
Dankeschön.

Ist damit gemeint, dass man eine Funktion wählt, bei dem das Integral im Intervall [0,1] nicht konvergiert? also z.b. etc.?

Und dann zeigen, dass Die Summe nie unendlich werden kann?
 
 
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
Zitat:
Original von Timbonane
Ist damit gemeint, dass man eine Funktion wählt, bei dem das Integral im Intervall [0,1] nicht konvergiert?

nein, muss ja stetig sein auf . Beachte aber, dass die rechte Seite der obigen Gleichung nur von den Werten von in den endlich vielen Punkten abhängt, während beim Integral sozusagen das ganze Intervall eingeht...
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
heisst das nun also, dass ich das Integral
als im Grenzwert betrachten kann, und dann sehe ich, dass quasi alle Werte vom endlichen n bis zum Grenzwert "fehlen"?
Ich tu mir leider etwas schwer, das nun wirklich richtig zu interpretieren, ich hoffe diesmal liege ich richtig, vielen Dank nochmal!
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
nein - es ist viel einfacher... man kann z.B. so wählen, dass die rechte Seite 0 ist, das integral von f aber nicht
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
Hm, es ist verflixt ich sitz da jetzt schon den ganzen Nachmittag dran, und ich bin anscheinend immer wieder am falschen Dampfer..Danke für die Geduld

Meine Idee wäre noch, f so zu definieren, dass für und sonst?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
Zitat:
Original von Timbonane
Meine Idee wäre noch, f so zu definieren, dass für und sonst?

schon besser - allerdings ist diese Funktion nicht stetig
Murlimu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
Hmmm..d.h. ich muss eine Funktion finden, bei denen für , und die dann auch noch stetig ist?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
ja, und sollte nicht 0 sein
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
So, ich komm irgendwie nicht mehr weiter, ich glaub ich mach für heute erstmal Schluss, vielleicht fällt mir ja morgen was ein!

Ich weis einfach nicht, wie ich auf eine stetige Funktion kommen soll, wenn alle endlichen Werte gleich 0 sein sollen....muss ich dann evtl ansonsten wählen, oder so in die Richtung? oder gehts hier um eine ganz einfache Funktion, und cih bin einfach zu doof die zu sehen Big Laugh
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
Zitat:
Original von Timbonane
....muss ich dann evtl ansonsten wählen, oder so in die Richtung?

nein, denn das ist auch nicht stetig für

Sonst betrachten wir mal den Spezialfall , also nur ein Tau, sagen wir . Gesucht ist dann also eine stetige Funktion so, dass und ...Der allgemeine Fall ergibt sich dann analog
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
Guten Morgen!

Ach, ist damit gemeint das ich für die f(\tau_i) dann auch verschiedene Funktionen wählen kann?

z.b. für den Fall wähle ich die auf stetige Funktion , also ist hier der Funktionswert von 0.5 gleich 0, aber das Integral nicht?

Im allgemeinen Fall dann , und die Funktion lautet dann ? Da müsste dann doch Für alle , aber das Integral nicht 0 sein?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
Hallo,

Zitat:
Original von Timbonane
Ach, ist damit gemeint das ich für die f(\tau_i) dann auch verschiedene Funktionen wählen kann?

ich sehe nicht genau, was du damit sagen willst (wir wollen für alle im allgemeinen Fall). Aber vielleicht meinst du das richtige

Zitat:
z.b. für den Fall wähle ich die auf stetige Funktion , also ist hier der Funktionswert von 0.5 gleich 0, aber das Integral nicht?

richtig, dieses hat alle verlangten Eigenschaften

Zitat:
Im allgemeinen Fall dann , und die Funktion lautet dann ? Da müsste dann doch Für alle , aber das Integral nicht 0 sein?

ist 0 an der Stelle , aber nicht für die anderen Taus...aber du bist fast am Ziel: wie kann man daraus nun eine Funktion basteln, die genau die Nullstellen hat?
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
Hmm, also war ich doch wieder etwas am falschen Dampfer..

Ist damit dann die Funktion gemeint?

Diese Funktion ist stetig auf , und besitzt bei allen eine Nullstelle. Und das Integral müsste eigentlich auch sein.

Vielen lieben Dank nochmal für die viele Geduld, die du hier für mich aufbringst!
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
Zitat:
Original von Timbonane
Ist damit dann die Funktion gemeint?

Diese Funktion ist stetig auf , und besitzt bei allen eine Nullstelle.

das stimmt (wobei im letzten Faktor anstelle von stehen solte), aber

Zitat:
Und das Integral müsste eigentlich auch sein.

leider nicht i.a., zB. im vorher betrachteten Fall () ist . Aber das kannst du leicht beheben - vorher hattest du ja schon eine nichtnegative Funnktion gewählt
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
das heisst also, meine Funktion müsste lauten:

?

Hier ist dann das Integral bestimmt , weil es sich um eine nichtnegative Funktion handelt, ja?
EinGast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
richtig! Freude
Da im Intervall stetig, nichtnegativ und in mind. einem Punkt positiv ist, ist auch - das kennst du sicher aus der Analysis.
Timbonane Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearität des Integrals
Juhuuuu!
Vielen lieben Dank, vor allem für die Geduld!
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