Umkehrfunktion bilden - richtige Lösung?

07.12.2012, 13:01

Katha1593

Umkehrfunktion bilden - richtige Lösung?

Meine Frage:
Hallo,
Soll die Umkehrfunktion von

$\begin{eqnarray*} p_{D}(x)=1-\frac{1}{10}x \end{eqnarray*}$

bilden

Meine Ideen:
Ist die Vorgehensweise und Lösung richtig?

$\begin{eqnarray*} y=1-\frac{1}{10}x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y-1 = -\frac{1}{10}x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 10y+10=x=D(p) \end{eqnarray*}$

Muss man x und y jetzt noch vertauschen? Denn im Skript steht davon nichts.

Und wie genau kontrolliere ich jetzt noch mit:

$\begin{eqnarray*} p_{D}(D(p))=p \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} D(p_{D}(x))=x \end{eqnarray*}$

Definitionsbereich ist [0,10] und Werebereich [0,1]

Bei der ersten setzt man für D(p) dann das Ergebnis x=10y+10 ein oder? Und für p dann 1-1/10x?
Bei der zweiten dann einfach umgekehrt?

Danke für eure Hilfe!!

07.12.2012, 14:51

Helferlein

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RE: Umkehrfunktion bilden - richtige Lösung?

Zitat:

Original von Katha1593
$\begin{eqnarray*} 10y+10=x=D(p) \end{eqnarray*}$

Da ist dir ein kleiner, aber entscheidender Fehler unterlaufen.

Zitat:

Original von Katha1593
Muss man x und y jetzt noch vertauschen? Denn im Skript steht davon nichts.

Mathematisch vertauscht man das eigentlich als erstes und formt dann nach y um. Zwingend notwendig ist es aber nicht. Es erleichtert nur das Verständnis.

Die Kontrolle hast Du richtig verstanden: Du setzt den Term der einen Funktion in die andere ein.
Wäre beispielsweise die Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray*} f(x)=x+1 \end{eqnarray*}$ gesucht, so kämst Du bei richtiger Rechnung auf $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=x-1 \end{eqnarray*}$ .
Einsetzen bestätigt:
$\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(x))=(x-1)+1=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x))=(x+1)-1=x \end{eqnarray*}$

09.12.2012, 11:28

Katha1593

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Ich kann den Fehler nicht sehen?

Gut, also wenn bei der Kontrollrechnung dann ein Ergebnis innerhalb des Definitionsbereichs bzw. Wertebereichs folgt, stimmt es?

09.12.2012, 11:49

Helferlein

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Du multiplizierst die Gleichung doch mit -10 oder nicht?
Dann muss es aber -10y heissen, was ökonomisch ja auch wesentlich sinnvoller ist. Andernfalls würde die Nachfrage mit steigendem Preis ebenfalls steigen. (Super, endlich teure Ware Big Laugh

)

09.12.2012, 16:56

Katha1593

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Oh man, sowas blödes, jetzt seh ich es auch Big Laugh

Vielen Dank (:

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