Anzahl von Vektoren und Untervektorräumen bestimmen

07.12.2012, 15:34	Franzzii	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl von Vektoren und Untervektorräumen bestimmen Meine Frage: Hallo, ich habe eine Aufgabe, mit der ich leider ganr nichts anfangen kann: Es seien K ein endlicher Körper, q:= $\begin{eqnarray} \| K \| \end{eqnarray}$ und V ein K- Vektorraum der Dimension n< $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie: 1) Die Anzahl der Vektoren in V 2) Die Anzahl der 1-dimensionalen Untervektorräume von V 3) Die Anzahl der 2-dimensionalen Untervektorräume von V 4) Die Anzahl der k-dimensionalen Untervektorräume von V für $\begin{eqnarray} 0 \leq k \leq n \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß wie man Untervektorräuume zeigt: (i) sie dürfen nicht leer sein (ii) zwei Elemente aus dem Uvr müssen addiert immer noch im Uvr sein (iii) ein Element muss mit einem Faktor multipliziert immer noch im Uvr sein Wie bestimme ich jetzt allerdings die Anzahl der Vektoren? Zu 1) habe ich leider keine Idee.
07.12.2012, 17:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein endlicher Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|K\|=q \end{eqnarray}$ ist ismorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb F_q=\mathbb F_{p^m}, p\in\mathbb P \end{eqnarray}$ ; und ein Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ der Dimension n über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist isomorph zu $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} V\cong \mathbb F_{p^m}^n \end{eqnarray}$ . Konkreter geht's nicht mehr, jetzt musst du nur noch zählen.
08.12.2012, 10:50	Franzzii	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, ich kann damit jetzt irgendwie gar nichts anfangen...Kannst du das nochmal ein bisschen leichter erklären? Ich will keine komplette Antwort, aber irgendwie komme ich mit dem was du geschrieben hast nicht weiter...Tut mir leid
08.12.2012, 13:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray} \mathbb F_2=\{0,1\},\mathbb F_2^2=\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ Das sind 4 Vektoren, ein 0-dim Unterraum, 3 1-dim Unterräume, 1 2-dim Unterraum. habe ich doch gesagt: "zählen"
09.12.2012, 13:30	Franzzii	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe das Beispiel jetzt mit F3 gemacht. Da sind es dann 27. Ich vermuten nun mal, dass es bei Fn = n^n sind.
09.12.2012, 18:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Vermutung ist schon mal ein Anfang, taugt aber nicht viel. Wie ich eingangs gezeigt habe, geht es um $\begin{eqnarray} \|K\|=q=p^m \end{eqnarray}$ und um die Dimension $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ des Vektorraums, also um 3 Zahlen $\begin{eqnarray} p,m,n \end{eqnarray}$ und nicht nur um eine Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Somit kann die Anzahl der Vektoren nicht $\begin{eqnarray} n^n \end{eqnarray}$ sein. Von guten Vermutungen über die Anzahl der Untervektorräume sind wir auch noch sehr weit entfernt. Was ist z.B. mit $\begin{eqnarray} \mathbb F_{5^{12}}^{49} \end{eqnarray}$
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