Warum exp(x)/x^m gegen unendlich geht

07.12.2012, 16:17

UTAnalysisXX

Warum exp(x)/x^m gegen unendlich geht

Meine Frage:
Hallo,

wir hatten in der Uni den Beweis, dass für alle $\begin{eqnarray*} m \in N_{0} \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{exp(x)}{x^{m}} = \infty \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Der Beweis geht so:
Für x>0 ist: $\begin{eqnarray*} exp(x) = \sum\limits_{n=o}^\infty \frac{x^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$
Also erstmal: Woher weiß ich, dass das größer ist? Warum?

Daraus folgern wir dann: $\begin{eqnarray*} \frac{exp(x)}{x^{m}} > \frac{x}{(m+1)!} \end{eqnarray*}$
Den Schritt verstehe ich auch nicht. Und was hat das ganze mit dem limes zu tun, wen wir beweisen wollen?

Ich wäre für eine ausführliche Erklärung sehr dankbar.

07.12.2012, 16:19

UTAnalysisXX

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RE: Warum exp(x)/x^m gegen unendlich geht

Zitat:

Original von UTAnalysisXX

Meine Ideen:
Der Beweis geht so:
Für x>0 ist: $\begin{eqnarray*} exp(x) = \sum\limits_{n=o}^\infty \frac{x^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$
Also erstmal: Woher weiß ich, dass das größer ist? Warum?

Ergänzung:
Für x>0 ist
$\begin{eqnarray*} exp(x) = \sum\limits_{n=o}^\infty \frac{x^{n}}{n!} > \frac{x^{m+1}}{(m+1)!} \end{eqnarray*}$

07.12.2012, 16:48

zyko

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RE: Warum exp(x)/x^m gegen unendlich geht
Du schreibst selbst, dass

Zitat:

Für x>0 ist
$\begin{eqnarray*} exp(x) = \sum\limits_{n=o}^\infty \frac{x^{n}}{n!} > \frac{x^{m+1}}{(m+1)!} \end{eqnarray*}$

.
Teile diese Ungleichung durch $\begin{eqnarray*} x^m \end{eqnarray*}$ und bilde anschließend den limes für die rechte Seite. Damit erhältst du eine untere Schranke für die linke Seite.

07.12.2012, 16:54

UTAnalysisXX

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RE: Warum exp(x)/x^m gegen unendlich geht
Ja, aber mir ging es um die Voraussetzung. Woher weiß ich, dass das gilt???
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=o}^\infty \frac{x^{n}}{n!} > \frac{x^{m+1}}{(m+1)!} \end{eqnarray*}$

edit von sulo: Vollzitat entfernt.

07.12.2012, 17:00

UTAnalysisXX

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Also die Folgerung habe ich verstanden. Und auch, was das mit dem Beweis zu tun hat.
Dafür erstmal Dankeschön.
Aber woher kommt die Voraussetzung?

07.12.2012, 17:13

zyko

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$\begin{eqnarray*} \frac{x^{m+1}}{(m+1)!} \end{eqnarray*}$ ist ein Summand der unendlichen Summe. Da x>0 ist, sind alle Summanden >0. Daraus folgt, wenn wir alle Summanden bis auf einen ignorieren, dann schätzen wir die unendliche Summe nach unten ab.

07.12.2012, 17:29

UTAnalysisXX

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Zitat:

Original von zyko
$\begin{eqnarray*} \frac{x^{m+1}}{(m+1)!} \end{eqnarray*}$ ist ein Summand der unendlichen Summe. Da x>0 ist, sind alle Summanden >0. Daraus folgt, wenn wir alle Summanden bis auf einen ignorieren, dann schätzen wir die unendliche Summe nach unten ab.

ehrlich gesagt verstehe ich es immer noch nicht
Ich verstehe auch nicht warum wir ausgerechnet (m+1) nehmen.
Ich meine m steht doch mit nichts anderem in zusammenhang?
dann könnte ich genauso m nehmen oder?

Liegt es vielleicht daran, dass man sagt, dass jede Einzelsumme von exp(x) immer größer ist als die nächste?
also $\begin{eqnarray*} \frac{x^{n}}{n!} > \frac{x^{n+1}}{n+1!} > \frac{x^{n+2}}{n+2!} \end{eqnarray*}$

Weil wenn ich DAS weiß, dann weiß ich auch, dass die Aufsummierung von beliebigen Summe von Beginn an immer größer ist als irgendeine einzelne Summe.
Ist richtig so?

07.12.2012, 17:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von UTAnalysisXX
Ich verstehe auch nicht warum wir ausgerechnet (m+1) nehmen.

Weil es dann mit dem Beweis passt!!! Wenn du für eine vergleichbare Abschätzung nur den m-ten Summanden nimmst, oder noch irgendeinen vorher, dann ist diese Abschätzung nicht ausreichend für den angestrebten Beweis der Divergenz des Quotienten gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

Du musst aber nicht genau den (m+1)-ten nehmen, alle anderen weiter hinten klappen auch.

07.12.2012, 17:36

UTAnalysisXX

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Zitat:

Original von UTAnalysisXX

Liegt es vielleicht daran, dass man sagt, dass jede Einzelsumme von exp(x) immer größer ist als die nächste?
also $\begin{eqnarray*} \frac{x^{n}}{n!} > \frac{x^{n+1}}{n+1!} > \frac{x^{n+2}}{n+2!} \end{eqnarray*}$

Weil wenn ich DAS weiß, dann weiß ich auch, dass die Aufsummierung von beliebigen Summe von Beginn an immer größer ist als irgendeine einzelne Summe.
Ist richtig so?

Okay. Und was ich damit?

07.12.2012, 17:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von UTAnalysisXX
also $\begin{eqnarray*} \frac{x^{n}}{n!} > \frac{x^{n+1}}{n+1!} > \frac{x^{n+2}}{n+2!} \end{eqnarray*}$

Das ist i.a falsch, besser gesagt: Es gilt erst für $\begin{eqnarray*} n>x-1 \end{eqnarray*}$ . Hier geht es um das Verhalten der Reihenglieder bei festem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und variablen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

In der vorliegenden Problemstellung ist aber im Unterschied dazu das Verhalten bei festem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit dann $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ von Interesse - völlig verschieden in der Argumentation. unglücklich

07.12.2012, 17:45

Monoid

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Na was ist denn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x}{(m+1)!} \end{eqnarray*}$ ?

09.12.2012, 13:33

UTAnalysisXX

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Ah, ich habs verstanden denke ich. Das rechte ist einfach nur ein Summand der linken Summe und da das linke IMMER alle Summanden zusammen sind ist es auch jeden Fall mehr als das rechte.
Richtig?

09.12.2012, 13:36

HAL 9000

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Auch wenn es zwei Tage gedauert hat, so íst es erfreulicherweise nun doch angekommen. Freude

10.12.2012, 18:34

UTAnalysisXX

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Zitat:

Original von HAL 9000
Auch wenn es zwei Tage gedauert hat, so íst es erfreulicherweise nun doch angekommen. Freude

*gg* Danke!

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Warum exp(x)/x^m gegen unendlich geht

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