Transzendente Zahlen

07.12.2012, 21:19

Causal

Transzendente Zahlen

Guten Abend,

ich hab folgende Aufgabe vorliegen.
Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl und $\begin{eqnarray*} t \in \{e, \pi \} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{p}{t} \end{eqnarray*}$ transzendent.

Mein Beweis:

Sei $\begin{eqnarray*} P(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n \end{eqnarray*}$ ein Polynom n-ten Grades.
Angenommen $\begin{eqnarray*} m := \frac{p}{t} \end{eqnarray*}$ ist nicht transzendent, dann ist ja
$\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ algebraisch und Lösung einer Nullste.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P\left(\frac{p}{t}\right) = a_0 + a_1 \frac{p}{t} + \ldots + a_m \frac{p^m}{t^m} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t^m a_0 + t^{m-1} a_1 p + \ldots +a_m p^m = 0 \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht so recht weiter..
Ist denn der Weg bis hierhin nachvollziehbar?

Gruß, Causal

07.12.2012, 21:28

Mystic

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RE: Transzendente Zahlen
Man braucht dafür zweierlei, nämlich dass erstens die algebraischen Zahlen einen Unterkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ bilden und zweitens $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ nicht algebraisch sind... Augenzwinkern

07.12.2012, 22:22

Causal

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RE: Transzendente Zahlen
Danke für die Antwort. Warum braucht man ersteres?
Ich kenne mich in der Zahlentheorie nicht aus. Diese Aussage war mehr eine Vermutung von mir und da ich keinen Beweis im Internet gefunden habe, wollte ich es alleine probieren smile

Gruß, Causal

07.12.2012, 23:11

Mystic

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RE: Transzendente Zahlen

Zitat:

Original von Causal
Danke für die Antwort. Warum braucht man ersteres?

Naja, angenommen $\begin{eqnarray*} m:=\frac pt \ne 0 \end{eqnarray*}$ wäre algebraisch, dann wäre $\begin{eqnarray*} t=\frac pm \end{eqnarray*}$ als Quotient algebraischer Zahlen ebenfalls algebraisch, was eben, wie man hier eben auch wissen muss, für $\begin{eqnarray*} t \in \{\pi,e\} \end{eqnarray*}$ nicht zutrifft...

08.12.2012, 00:46

Causal

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RE: Transzendente Zahlen
Ich meinte eher, warum die algebraischen Zahlen einen Unterkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ bilden müssen..

08.12.2012, 10:41

Mystic

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RE: Transzendente Zahlen

Zitat:

Original von Causal
Ich meinte eher, warum die algebraischen Zahlen einen Unterkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ bilden müssen..

Naja, da hilft das folgende (wie ich finde, doch ziemlich "ausgelutschte") Argument: Sind $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ algebraisch über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[\alpha,\beta] \end{eqnarray*}$ eine endliche Körpererweiterung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und jede solche ist natürlich wieder algebraisch...

Edit: Besteht übrigens ein "Causalzusammenhang" zu diesem Posting in einem anderem Forum? Crossposting wird nämlich hier nicht so gern gesehen... geschockt

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