Symmetrische, alternierende Matrizen

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MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische, alternierende Matrizen
Sei ein Körper, habe Charakteristik der Raum der symmetrischen
Matrizen, der Raum der alternierenden Matrizen.
Weisen Sie nach, dass

Meine Ideen:

hat die Charakterstik , d.h. es ist nicht möglich, das additive neutrale Element (0) durch Addieren des multiplikativen neutralen Elementes (1) eines Körpers zu erhalten.

Ich weiß bei dieser Aufgabe überhaupt nicht wie ich vorgehen soll.
Was ist ein symmetrischer Raum, was ein alternierender Raum?
Und was bedeutet das Zeichen genau?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische, alternierende Matrizen
hallo mathenoobii,
also: es gibt keine symmetrischen und alterniernende räume, sondern nur symmetrische
und alternierende matrizen. Und das bedeutet direkte summe. Und die
zu beweisende gleichung heist inhaltlich, dass man jede beliebige nxn-matrix als summe
einer symmetrischen und einer alternierenden matrix schreiben kann.
gruss ollie3
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische, alternierende Matrizen
Okay schonmal danke für deine Hilfe, aber wie zeige ich das nun? Ich weiß überhaupt nicht, was ich jetzt machen soll?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische, alternierende Matrizen
hallo,
wahrscheinlich kann man das über die elemente der matrix zeigen. Bei symmetrsichen matrizen
gilt ja a_ij = a_ji für alle i,j b bei alternierenden matrizen gilt ja a_ij = - a_ji für alle elemente.
gruss ollie3
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage



beinhaltet zweierlei: Jede quadratische -reihige Matrix über (rechte Seite) läßt sich

1. additiv in eine symmetrische und eine alternierende Matrix zerlegen
2. wobei die Zerlegung eindeutig ist

Der Inhalt von 1. wird durch das Pluszeichen kundgetan, der Inhalt von 2. durch den Kreis um das Pluszeichen (direkte Summe von Unterräumen, d.h. der Schnitt der beiden Räume ist der Nullraum).

Ich gebe dir einmal eine Lösungsidee anhand eines Beispiels, das auf den ersten Blick gar nichts mit der vorliegenden Aufgabe zu tun hat.

Eine Funktion heißt bekanntermaßen gerade, wenn sie , und ungerade, wenn sie für alle erfüllt. Die Graphen gerader Funktionen sind achsensymmetrisch zur -Achse, die ungerader punktsymmetrisch zum Ursprung.
Wenn man die Addition von Funktionen und die Multiplikation einer Funktion mit einem Skalar auf bekannte Art punktweise definiert, dann bilden diese Funktionen einen reellen Vektorraum . Die geraden und ungeraden Funktionen bestimmen Unterräume und von . (Das sind alles kleine beweiswürdige Behauptungen.) Dann gilt



Das Letzte sagt nichts anderes, als daß man jede Funktion additiv eindeutig in eine gerade und eine ungerade Funktion zerlegen kann. Und das geht ganz einfach. Ist nämlich vorgegeben, so definiere man die Funktionen und durch



Man zeigt leicht: und . Es ist also gerade und ungerade. Und durch bloßes Hinschauen sieht man: , so daß die geforderte Zerlegung vorliegt. Und daß der Schnitt von und der Nullraum ist, folgt so: Man nimmt eine Funktion , die sowohl gerade als auch ungerade ist:



Und aus dem hinteren Teil folgt sofort: . Damit ist die Nullfunktion, die die Rolle des Nullvektors von einnimmt. Daher ist der Schnitt von und der Nullraum :



Das bekannteste Beispiel für dieses Vorgehen bilden übrigens die Funktionen



Und wo ist jetzt der Zusammenhang zu deiner Aufgabe? Nun - das sollst du selbst herausfinden. Nur noch so viel: Sowohl daß eine Matrix symmetrisch als auch daß sie alternierend ist, läßt sich mit Hilfe der Transponierten ausdrücken.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische, alternierende Matrizen
Diese Erklärung habe ich eben auch in einem anderen Beitrag gefunden! Ich versteh sie und sie ist auch sehr gut erklärt, ich werde mir jetzt noch einmal Gedanken darüber machen!
 
 
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische, alternierende Matrizen
Also da , muss

sein.

In symmetrischen Matrizen gilt :
in alternierenden Matrizen gilt:

Also kann man für annehmen: und das zerlegen in:



So in etwa?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Symmetrische, alternierende Matrizen
hallo,
das sieht gut aus. Freude
Jetzt musst du nur noch begründen, warum die eine matrix mit den
elementen 1/2 (a_ij+a_ji) symmetrisch und die andere alternierend ist, dann
ist die aufgabe fertig.
gruss ollie3
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist richtig. Aber begib dich doch erst gar nicht aufs Glatteis des Index-Gewurschtels!

Zur quadratischen Matrix definiere

(das hochgestellte bezeichne die transponierte Matrix)

Zeige mit bekannten Eigenschaften für das Transponieren (in den Unterlagen nachschlagen, dabei wird das auch noch gleich wiederholt):

(d.h. ist symmetrisch)

(d.h. ist alternierend)

Dann muß nur noch die Trivialität überprüft werden. Und nicht vergessen: Du mußt noch zeigen, daß der Schnitt der beiden Räume der Nullraum ist. Das wird behauptet, nicht vorausgesetzt! Auch da nicht bis auf die Matrixelemente heruntersteigen, sondern global rechnen.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ja stimmt, das sieht übersichtlicher aus!

ist symmetrisch, da

Und für habe ich das auch verstanden und es passt!

Jetzt noch zu:




Passt!

Und nun noch:





Hm da habe ich jetzt Probleme! Wie zeige ich das jetzt?

Das kann ich mir jetzt global nicht richtig vorstellen!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Huch! Was machst du denn da? Man kann doch keine Matrizen miteinander schneiden. Was soll das? Nein, du sollst



zeigen. Und die hier steht natürlich für den Nullraum, also für , wobei die Null in den Mengenklammern die -reihige Nullmatrix ist.

Wie zeigt man so etwas? Mengengleichheit zeigt man durch den Nachweis, daß jedes Element der Menge links vom Gleichheitszeichen auch der Menge rechts angehört und daß jedes Element der Menge rechts auch der Menge links angehört. Der zweite Teil ist natürlich trivial, denn rechts ist ja nur die Nullmatrix drin, und die liegt in jedem Unterraum, speziell auch im Schnitt von zwei Unterräumen. Interessant ist daher nur das erste. Nimm also eine Matrix aus dem Schnitt, also eine Matrix, die sowohl symmetrisch als auch alternierend ist, und zeige, daß das nur die Nullmatrix sein kann. Spiel einfach mit den Definitionen von symmetrisch und alternierend mit Hilfe des Transponierens. Das ist nur ein Klacks.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte mir schon, dass da was nicht ganz stimmen kann!

Ah so macht das Sinn!

Die Matrix soll symmetrisch und alternierend zugleich sein. Das bedeutet:



Das ist jetzt offensichtlich, dass dies nur die Nullmatrix sein kann oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Bei der letzten Äquivalenz wurde verwendet, daß der Körper nicht die die Charakteristik 2 besitzt.
MatheNoobii Auf diesen Beitrag antworten »

Ah also, dass er die Charakteristik 0 besitzt?
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