Warum ist (Z,+) zyklisch?

08.12.2012, 16:40	DSler	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist (Z,+) zyklisch? Meine Frage: Hallo, warum ist die Gruppe G=(Z,+) zyklisch? Meine Ideen: Ich habe schon gegoogelt, aber die Antworten haben mich nicht wirklich zufrieden gestellt. Dass die positive Hälfte von Z zyklisch ist, sehe ich ja ein, denn durch 1^0, 1^1, ... kann ich dort alle Elemente erzeugen. Wie erzeuge ich jedoch die negativen Zahlen mit Hilfe der 1? Und wie die 0? Eine zyklische Gruppe muss doch immer durch mindestens eine Zahl vollständig erzeugbar sein oder nicht?
08.12.2012, 16:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hier $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ die additive Gruppe der ganzen Zahlen bezeichnet, solltest du auch die additive Schreibweise verwenden: Gruppenoperation: Statt $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ verwende $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ Neutrales Element: Statt $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ verwende $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ Inverse Elemente: Statt $\begin{eqnarray} x^{-1} \end{eqnarray}$ verwende $\begin{eqnarray} -x \end{eqnarray}$ Potenzen: Statt $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ verwende $\begin{eqnarray} n \cdot x \end{eqnarray}$ Das Potenzgesetz $\begin{eqnarray} x^n \cdot x^m = x^{n+m} \end{eqnarray}$ lautet in der additiven Schreibweise jetzt so: $\begin{eqnarray} (n+m) \cdot x = n \cdot x + m \cdot x \end{eqnarray}$ Und mit diesen Vereinbarungen gilt in der Tat: $\begin{eqnarray} G = \langle 1 \rangle \end{eqnarray}$ Und damit ist $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ zyklisch. Beachte, daß $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ hier nicht das neutrale Element von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist (das ist ja $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ), sondern die ganze Zahl $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »