Primitivwurzeln im Körper F9

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11.02.2007, 22:24

nordi80

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Primitivwurzeln im Körper F9

Hi, kann mir jemand sagen wie ich am schnellsten die Primitivwurzeln des Körpers F9 berechnen kann?

11.02.2007, 23:38

therisen

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Hallo,

es gibt genau $\begin{eqnarray*} \varphi(\varphi(9))=\varphi(6)=2 \end{eqnarray*}$ Primitivwurzeln in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/ 9\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi(6)=2\cdot 3 \end{eqnarray*}$ . Weiter gilt $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/9\mathbb Z)^\times = \{1,2,4,5,7,8\} \end{eqnarray*}$ . Man nimmt nun der Reihe nach jedes Element $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ hieraus (genauer einen Repräsentanten der jeweiligen Restklasse) und prüft, ob gilt: $\begin{eqnarray*} m^2 \not\equiv 1 \pmod 9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m^3 \not\equiv 1 \pmod 9 \end{eqnarray*}$ . Dies sind dann die gewünschten Primitivwurzeln (es sind hier nur 3 Repräsentanten zu überprüfen Augenzwinkern

).

Gruß, therisen

12.02.2007, 07:25

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Zugegebenermaßen verstehe ich nicht viel von Algebra, vor allem nicht deren vielfältige Abkürzungen wie "F9". Aber wenn von einem Körper die Rede ist, kann doch wohl kaum $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},+) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} ((\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^*,\cdot) \end{eqnarray*}$ gemeint sein, sondern doch wohl eher das Galoisfeld mit 9 Elementen, mir bekannt als $\begin{eqnarray*} GF(3^2) \end{eqnarray*}$ . Ich bitte um Aufklärung. verwirrt

12.02.2007, 15:33

Leopold

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Hier habe ich das in einem ähnlichen Fall schon einmal erklärt. Man ersetze dort $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3 = \mathbb{Z} \, / \, 3 \mathbb{Z} = \left\{ -1,0,1 \right\} \end{eqnarray*}$ und betrachte formale Summen $\begin{eqnarray*} a + \operatorname{i}b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{Z}_3 \end{eqnarray*}$ , wobei für das Element $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ wie bei komplexen Zahlen die Regel $\begin{eqnarray*} \operatorname{i}^2 = -1 \end{eqnarray*}$ gelten soll.
Allerdings wüßte ich mit dem Begriff "Primitivwurzel" in einem Körper nichts anzufangen (was nicht unbedingt etwas heißen muß). Vielleicht geht es ja doch nicht um $\begin{eqnarray*} \operatorname{GF}(9) \end{eqnarray*}$ , sondern um den Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \, / \, 9 \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , also um das Rechnen mit ganzen Zahlen modulo 9?

12.02.2007, 15:55

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Primitivwurzel ist da hoffentlich wie üblich ein Element, welches die gesamte Multiplikationsgruppe erzeugt, wie z.B. $\begin{eqnarray*} 1+i \end{eqnarray*}$ mit den Potenzen $\begin{eqnarray*} (1+i)^k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,7 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1,\quad 1+i,\quad 2i,\quad 1+2i,\quad 2,\quad 2+2i,\quad i,\quad 2+i \end{eqnarray*}$

Da kann man dann auch gleich die restlichen Primitivwurzeln ablesen, das sind dann die Potenzen $\begin{eqnarray*} (1+i)^k \end{eqnarray*}$ mit Exponenten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , die zu $\begin{eqnarray*} 9-1=8 \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind, also die ungeraden Exponenten:

$\begin{eqnarray*} 1+i,\quad 1+2i,\quad 2+2i,\quad 2+i \end{eqnarray*}$

P.S.: Dein Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3[i] \end{eqnarray*}$ entspricht ja wohl offensichtlich 1:1 der Galoisfelddarstellung $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1) \end{eqnarray*}$ als Faktorring.

12.02.2007, 18:34

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Primitivwurzel ist da hoffentlich wie üblich ein Element, welches die gesamte Multiplikationsgruppe erzeugt

Logisch, da hätte ich ja selber darauf kommen können! Augenzwinkern

Zitat:

Original von Arthur Dent
P.S.: Dein Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3[i] \end{eqnarray*}$ entspricht ja wohl offensichtlich 1:1 der Galoisfelddarstellung $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1) \end{eqnarray*}$ als Faktorring.

Auch das stimmt. Und natürlich ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \, \cong \, x \, \operatorname{mod} \, \left( x^2 + 1 \right) \end{eqnarray*}$ . Aus "pädagogischen Gründen" halte ich nur ein $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ , das man "in die Hand nehmen kann" (na ja!), für anschaulicher als die abstrakte Konstruktion über Faktorisierungen in einem Polynomring, die doch vielen Anfängern erhebliche Probleme bereitet, wenn auch der Fachmann letztlich genau das hinter dem $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ erkennt.

Man kann die Aufgabe dann auch so lösen: Da jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch ist, müssen die von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ verschiedenen Elemente des Körpers $\begin{eqnarray*} \operatorname{GF}(9) \end{eqnarray*}$ unter der Multiplikation eine zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ bilden. Da es genau 4 zu 8 teilerfremde natürliche Zahlen kleiner 8 gibt, muß die Gruppe also vier Erzeugende besitzen. $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pm \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ können es offenbar nicht sein, denn diese Elemente besitzen die Ordnungen 1, 2 oder 4. Also sind es die vier restlichen $\begin{eqnarray*} \pm \left( 1 \pm \operatorname{i} \right) \end{eqnarray*}$ .

12.02.2007, 19:44

nordi80

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Hallo!

Gemeint war der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_9 \end{eqnarray*}$ , ist in Latex wohl besser darstellbar ;-)! Es sollte eigentlich $\begin{eqnarray*} \varphi(9-1) = \varphi(8) = 4 \end{eqnarray*}$ verschiedene Primitivwurzeln geben, nur wie finde ich diese nun :-(?

Danke für eure Hilfe

12.02.2007, 19:47

Leopold

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Genau.

Zitat:

Original von Leopold
Da es genau 4 zu 8 teilerfremde natürliche Zahlen kleiner 8 gibt, muß die Gruppe also vier Erzeugende besitzen. $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pm \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ können es offenbar nicht sein, denn diese Elemente besitzen die Ordnungen 1, 2 oder 4. Also sind es die vier restlichen $\begin{eqnarray*} \pm \left( 1 \pm \operatorname{i} \right) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist nur noch die Frage, welche "Inkarnation" des Körpers du kennst. Ich habe ja in meinen vorigen Beiträgen einen Vorschlag dazu unterbreitet.

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