Konvergenz einer Reihe

08.12.2012, 20:26

oXSmileyXo

Konvergenz einer Reihe

Zeigen Sie, für eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}1/n, & \text{wenn }n\text{ ungerade,}\\1/n², & \text{wenn }n\text{ gerade.}<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

divergiert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ .

Leider weiss ich nicht, wie ich Konvergenz bei einer solch geteilten Folge zeigen kann.

Darf ich dort auch eine Fallunterscheidung für grade und ungrade n machen ?
Umordnen darf man die Partialsummen ja bei Reihen nicht.

Kann mir jemand einen Ansatz liefern ?

Vielen dank,
mfg. oXSmileyXo

08.12.2012, 20:35

weisbrot

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RE: Konvergenz einer Reihe
probier doch mal zu zeigen, dass die reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac 1{2k+1} \end{eqnarray*}$ divergiert (die representiert den teil mit 1/n). daraus kannst du dann die divergenz deiner reihe folgern.
edit: bzw. versuch einfach eine divergente minorante zu finden, das selbe prinzip aber vllt einfacher.
lg

08.12.2012, 20:55

oXSmileyXo

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Eine divergente Minorante wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Darf ich das denn einfach so machen ?

Wieso folgt daraus bereits die Divergenz ?

mfg. oXSmileyXo

08.12.2012, 21:00

weisbrot

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minorantenkriterium? verwirrt

minorantenkriterium! Freude

08.12.2012, 22:31

oXSmileyXo

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Hab grade gesehen, dass ich mich vertippt habe. Eigentlich sieht die Folge so aus:

$\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}1/n, & \text{wenn }n\text{ ungerade,}\\-1/n², & \text{wenn }n\text{ gerade.}<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

und es soll gezeigt werden:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ .

Da die Folge alternierend ist, macht es schon einen unterrschied denke ich oder ?

Kann ich hier die Folge für grade und ungerade n einzeln betrachten, und dann müssen beide konvergieren.

09.12.2012, 15:13

weisbrot

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Zitat:

und es soll gezeigt werden: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ .

was soll gezeigt werden? verwirrt

Zitat:

Da die Folge alternierend ist, macht es schon einen unterrschied denke ich oder ?

es macht einen unterschied, aber keinen großen. du musst deine abschätzung dann etwas gröber machen. oder einfach sagen: divergente reihe + konvergente reihe = divergente reihe.

Zitat:

[...] und dann müssen beide konvergieren.

wieso/wozu müssen sie das?
lg

09.12.2012, 15:55

oXSmileyXo

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Zitat:

was soll gezeigt werden?

Das die Reihe divergiert.

Zitat:

es macht einen unterschied, aber keinen großen. du musst deine abschätzung dann etwas gröber machen. oder einfach sagen: divergente reihe + konvergente reihe = divergente reihe.

Okay, also könnte ich quasi zwei Reihen daraus machen, und diese jeweils für grade und ungerade n betrachten ?
Dann müssten beide Reihen konvergent sein damit die Reihe konvergiert ?
Wir hatten leider addition von Reihen nicht in der Vorlesung, aber da Reihen nichts anderes als Folgen sind, werden wohl die gleichen gesetzmäßigkeiten herrschen oder ?
Nur bei Folgen kann ich ja auch nicht allein von der Divergenz einer Folge, auf die Divergenz der addition zweier folgen schließen.

Zitat:

wieso/wozu müssen sie das?

Damit die Reihe konvergieren würde.

Leider weiss ich nicht so recht, wie ich hier abschätzen soll.

Ich müsste dann ja eine divergente Minorante von:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{4k^2} \end{eqnarray*}$

finden.

Ich kann hier ja nicht einfach nur einen Term abschätzen, da er durch die ungeraden immer wieder kleiner gemacht wird. Das ist ja im Prinzip sowas wie Leibnitz, nur das die Reihe anscheinend nicht nach diesem Prinzip konvergiert verwirrt

Ne idee wie man sowas abschätzen soll hab ich leider nicht unglücklich

Mfg. oXSmileyXo

09.12.2012, 16:06

Che Netzer

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Das Minorantenkriterium gilt übrigens nur für Reihen mit nichtnegativen Summanden Augenzwinkern

Sonst wäre ja auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n \end{eqnarray*}$ divergent.

09.12.2012, 17:15

oXSmileyXo

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@Che Netzer Stimmt das macht sinn.

Aber ich dachte da an eine Abschätzung änlich wie beim Beweis des Leibnizkriterium.

Wir haben in der Vorlesung solche Reihen nicht besprochen, und mir würde nichts einfallen was mir direkt erlaubt zu sagen, dass die Additon subtraktion o.ä. einer Konvergenten und einer Divergenten Reihe divergiert.

Deswegen weiss ich leider nicht so recht, wo ich bei der Aufgabe anfange soll.

09.12.2012, 20:35

Ungewiss

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Wäre die Reihe konvergent, dann auch
$\begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{4n^2}\right)=\sum_{n\geq1}\frac{4n^2-2n+1}{8n^3-4n^2} \end{eqnarray*}$
und hier kann man das Minorantenkriterium anwenden.

09.12.2012, 22:05

oXSmileyXo

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Super vielen dank.

Ich werd mir nun noch einmal den Beweis fürs Leibnitzkriterium zu gemüteführen, damit ich auch verstehe weshalb diese Reihe nicht nach leibnitz konvergent ist.

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Konvergenz einer Reihe

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