Kompakte Teilmenge |
08.12.2012, 20:27 | OrchidFreak | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kompakte Teilmenge Guten Abend! Ich sitze gerade an der Aufgabe: Ist E (ungleich leere Menge) eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes ohne Häufungspunkte, so sit E endlich. Verwenden Sie, dass eine Menge E genau dann nicht endlich ist, wenn es eine injektive Abbildung von den natürlichen Zahlen nach E gibt. Meine Ideen: Wie gehe ich das am Besten an? wie soll ich den Hinweis verwenden? Hab irgendwie keinen Plan |
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09.12.2012, 01:56 | Auli | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey Also was der Tipp bedeuten soll ist, dass du a) einen Widerspruchsbeweis führen sollst b) mit Hilfe dieser injektiven "Funktion"(man kann es auch Folge nennen ) wie es f ist genau das tun sollst. Ich saß jetzt ein bisschen dran (samstagnachts ) und nach einigen Fehlversuchen hab ich glaub was brauchbares hinbekommen. (nachdem ich das geschrieben hab ist mir ein Fehler aufgefallen darin ) Was hast du denn gegeben? Kompaktheit und dass es keine Häufungspunkte gibt. Was bedeuten diese Begriffe? Hast du eine Idee wo diese Dinge mit einer injektiven Folge Probleme geben könnte? |
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10.12.2012, 14:55 | OrchidFreak | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo! Kompaktheit bedeutet, dass die Teilmenge beschränkt und abgeschlossen ist. Ein Häufungspunkt ist ein Grenzwert einer Teilfolge der Menge. Da es in dem Fall gibt es aber keine Häufungspunkte... da aber die Teilmenge kompakt, also abgeschlossen ist - und eine Menge dann abgeschlossen ist, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält... dann stimmt da was nicht Funktion und Folge kann ich gleichstellen? na ja, die Folgen haben den Grenzwert dann außerhalb der Teilmenge...also passt das dann nicht mit der Aussage, dass sie kompakt ist?? das verwirrt ziemlich |
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10.12.2012, 20:58 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kompaktheit ist nicht gleichbedeutend mit abgeschlossen und beschränkt. Es gibt auch abgeschlossen und beschränkte Teilmengen eines metrischen Raums, die keine Häufungspunkte haben, aber sogar überabzählbar viele Elemente haben. |
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10.12.2012, 22:41 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da E keine Häufungspunkte hat, kann man eine Überdeckung wählen, bei der in jeder Umgebung höchstens ein Punkt der Menge E liegt. Da E kompakt ist, gibt es innerhalb dieser Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung. Daraus folgt die Endlichkeit von E. |
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