Wronski-Determinante von vektorwertigen Funktionen

08.12.2012, 23:16

co0kie

Wronski-Determinante von vektorwertigen Funktionen

Hallo!

Ich habe eine Frage zur Wronski-Determinante. Und zwar sind mir hier die Vektoren $\begin{eqnarray*} x_1(t)=\begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2(t)=\begin{pmatrix} t² \\ 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gegeben und ich werde nach der Wronski-Determinante gefragt. Bisher hatte ich es bei Wronski-Determinanten nur mit skalaren Funktionen zu tun, bei vektorwertigen bin ich mir etwas unsicher. Was haltet ihr davon?

$\begin{eqnarray*} W(x_1,x_2)(t)=\begin{vmatrix} \begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} t² \\ 2t \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 2t \\ 2 \end{pmatrix} \end{vmatrix}=\begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2t \\ 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t² \\ 2t \end{pmatrix}=2t²+2-t²=t²+2 \end{eqnarray*}$

Macht das Sinn? Nun werde ich noch gefragt, in welchem Interval die Funktionen linear unabhängig sind. Ich kenne einen Satz, der besagt, wenn die Wronski-Determinante für mind. ein $\begin{eqnarray*} t_0 \in I \end{eqnarray*}$ ungleich Null ist, dann sind die Funktionen in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. Damit hab ich jetzt zwei Probleme:

1.) Irgendwie finde ich diese Aussage seltsam, denn wenn ich nun halt $\begin{eqnarray*} I=\mathbb R \end{eqnarray*}$ festlege und nur einen einzigen Wert finde, für die die Wronski-Determinante ungleich Null ist, dann sind die Funktionen gleich auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ linear unabhängig? Verallgemeinert sind dann zwei Funktionen demnach IMMER auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, wenn sie es nur in einem einzigen Punkt sind? Das klingt irgendwie... unrichtig.
2.) Im konkreten Fall könnte ich ja nun mit $\begin{eqnarray*} t_0=1 \end{eqnarray*}$ und obigem Satz schließen, dass die Funktionen auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sein müssten. Das glaube ich aber nicht, denn wenn ich zum Beispiel Null einsetze, dann ist ja $\begin{eqnarray*} x_2(0)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und demnach sind die Funktionen im Nullpunkt dann doch linear abhängig, oder?

Kann mir jemand helfen?

08.12.2012, 23:43

Che Netzer

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RE: Wronski-Determinante von vektorwertigen Funktionen
Als Wronski-Determinante von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Funktionen mit Werten im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ kenne ich in diesem Fal eher $\begin{eqnarray*} \det(x_1,x_2)=\det\begin{pmatrix}t&t^2\\1&2t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Das mit der linearen Unabhängigkeit verwechselst du wohl.
Im allgemeinen kann man aus einer Nullstelle der Wronski-Determinante beliebiger Funktionen nicht deren lineare Abhängigkeit folgern. Selbst wenn sie konstant Null wäre, müsste das nicht gelten.
Unter gewissen Voraussetzungen hat man aber doch die Äquivalenzen; die sind hier jedoch nicht gegeben.
Vielleicht helfen dir auch meine DGL-Mitschriften, da wird darauf ein wenig eingegangen.

09.12.2012, 00:03

co0kie

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RE: Wronski-Determinante von vektorwertigen Funktionen
Hallo Che Netzer! Danke für deine Antwort.

Zitat:

Original von Che Netzer
Als Wronski-Determinante von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Funktionen mit Werten im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ kenne ich in diesem Fal eher $\begin{eqnarray*} \det(x_1,x_2)=\det\begin{pmatrix}t&t^2\\1&2t\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Okay, aber warum? Wenn ich mir die Definition auf S. 63 in deinem Skipt angucke, dann habe ich das 1:1 so übertragen wie es dort steht. Was ich vergaß zu erwähnen ist, dass $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ Lösungen einer homogenen DGL sein sollen, wie es auch in Definition 4.2.1 in dem Skript steht.

Edit: Ups, ich sehe nun, dass ich mich vertan habe bei der Wronski-Matrix. Die müsste transponiert sein, als die Einträge auf der Nebendiagonale müssten getauscht sein! Ändert aber nichts an der resultierenden Wronski-Determinante.

Zitat:

Original von Che Netzer
Das mit der linearen Unabhängigkeit verwechselst du wohl.
Im allgemeinen kann man aus einer Nullstelle der Wronski-Determinante beliebiger Funktionen nicht deren lineare Abhängigkeit folgern. Selbst wenn sie konstant Null wäre, müsste das nicht gelten.

Tu ich ja gar nicht. Ich folgere nichts aus den Nullstellen. Das Ding hat ja nicht mal eine Nullstelle! Und die Folgerung, die ich mache, steht auch so in deinem Skript unter der Definition 4.2.1.

Zitat:

Original von Che Netzer
Unter gewissen Voraussetzungen hat man aber doch die Äquivalenzen; die sind hier jedoch nicht gegeben.

Meinst du mit "gewisse Voraussetzungen", dass die Funktionen Lösungen einer DGL sind? Denn für diesen Fall habe ich im Internet schon öfter die Aussage gefunden, dass die dann linear abhängig sind, wenn die Wronski-Determinante gleich konstant für alle $\begin{eqnarray*} t \in I \end{eqnarray*}$ ist.

09.12.2012, 00:17

Che Netzer

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RE: Wronski-Determinante von vektorwertigen Funktionen

Zitat:

Original von co0kie
Okay, aber warum? Wenn ich mir die Definition auf S. 63 in deinem Skipt angucke, dann habe ich das 1:1 so übertragen wie es dort steht.

Da geht es aber auch um eindimensionale Funktionen. Viel interessanter dürfte Seite 26 sein.

Zitat:

Tu ich ja gar nicht. Ich folgere nichts aus den Nullstellen. Das Ding hat ja nicht mal eine Nullstelle! Und die Folgerung, die ich mache, steht auch so in deinem Skript unter der Definition 4.2.1.

Aber auch die lineare Unabhängigkeit an einer Stelle impliziert dieser aber auch nicht überall. Bzw. dass die Wronski-Determinante irgendwo Null ist, ist kein Widerspruch dazu, dass sie irgendwo nicht Null ist.

Zitat:

Meinst du mit "gewisse Voraussetzungen", dass die Funktionen Lösungen einer DGL sind?

Siehe Seite 26 Augenzwinkern

Da betrachten wir den Lösungsraum von $\begin{eqnarray*} u'+Au=0 \end{eqnarray*}$ .

09.12.2012, 00:32

co0kie

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Das hilft mir leider nicht. Die einzige Definition, die ich für die Wronski-Determinante kenne, ist die auf Seite 63. Wenn ich jetzt von eurer Definition auf Seite 26 ausgehen würde (deren Sinn ich nicht verstehe bzw. warum das eine andere ist, als die auf Seite 63), weiß ich nicht, ob mein Prof das so gut findet.

Und ich weiß jetzt auch immer noch nicht, wie ich hier genau argumentieren muss, was das Intervall betrifft, auf dem die Funktionen l.u. sind. Man "sieht" ja, dass das für alle t außer Null der Fall ist. Wenn nämlich t gleich 0 ist, ist einer der Vektoren der Nullvektor und der ist immer linear abhängig zu einem anderen beliebigen Vektior. Ist t ungleich Null, sieht man die lineare Unabhängigkeit wie gesagt bzw. kann zeigen, dass sich der Nullvektor nur als triviale LK erzeugen lässt, die Vektoren ergo in diesem Fall l.u. sind. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das über die Wronski-Determinante argumentativ herleiten soll, denn das wird hier glaube ich erwartet (und sollte ja offenbar auch möglich sein).

09.12.2012, 00:36

Che Netzer

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Ihr werdet doch sicher eine Wronski-Determinante für mehrdimensionale Funktionen definiert haben, nicht nur für skalare. Sonst würde die Aufgabe doch keinen Sinn ergeben.

Und wie genau lautet die eigentlich?

Jedenfalls sind die Funktionen linear unabhängig, wenn es mindestens eine Stelle gibt, an der die Wronski-Determinante nicht Null ist. (das ist im Grunde leicht zu überlegen)

09.12.2012, 00:51

co0kie

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ihr werdet doch sicher eine Wronski-Determinante für mehrdimensionale Funktionen definiert haben, nicht nur für skalare. Sonst würde die Aufgabe doch keinen Sinn ergeben.

Nein, wie gesagt, die einzige Definition, die wir gegeben haben, ist die, die auch in deinem Skript auf Seite 63 steht (nur, dass das auf n Funktionen verallgemeinert ist, aber die sind dennoch skalar). Deshalb kann ich halt nur davon ausgehen, dass ich das auf vektorwertige Funktionen so übertragen muss...

Die Aufgabenstellung lautet wortwörtlich: "Gegeben sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} x_1(t)=\begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2(t)=\begin{pmatrix} t² \\ 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Finde die Wronski-Determinante. Auf welchem Intervall sind $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig?

Zitat:

Original von Che NetzerJedenfalls sind die Funktionen linear unabhängig, wenn es mindestens eine Stelle gibt, an der die Wronski-Determinante nicht Null ist. (das ist im Grunde leicht zu überlegen)

Ja, das war ja auch meine Argumentation. Allerdings weiß ich nicht, wie ich eine Aussage über das Intervall treffen soll, für das diese lineare Unabhängigkeit gilt. Wie gesagt, über "Hinsehen" und ein billiges LGS aufstellen komme ich schon dahin, dass das offenbar für das alle t aus R ohne die Null gelten muss, aber ich glaube halt, dass man irgendwie von mir verlangt, dass ich das über die Wronski-Determinante oder argumentativ herleiten muss...

09.12.2012, 01:05

Che Netzer

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Dann könnte ich mir höchstens vorstellen, dass du die beiden "Funktionen" $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ betrachten sollst; dann würde ja wieder alles passen.

Die Intervalle, auf denen die beiden Funktionen linear unabhängig sind, sind dann mindestens die, auf denen die Wronski-Determinante nicht konstant Null ist. Die, auf denen sie konstant Null ist, wären gesondert zu untersuchen.

09.12.2012, 01:31

co0kie

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Wie meinst du das? Die Wronski-Determinante ist in dem Fall doch t², was meinst du mit "konstant Null"? Und damit sind wir wieder bei meinem Anfangsproblem: Laut obigem Satz könnte ich jetzt damit aus t = 1 schließen, dass die Funktionen auf ganz R l.u. sind, was erstens offenbar falsch ist (wegen t = 0, Nullvektor, habe ich ja schon erklärt...) und mir zweitens nach wie vor "seltsam" vorkommt, dass es einen Satz mit so einer Aussage gibt (bzw. ich scheine die Aussage des Satzes irgendwie falsch zu interpretieren...)

09.12.2012, 01:45

Che Netzer

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Auf jedem Intervall, das nicht $\begin{eqnarray*} [0,0] \end{eqnarray*}$ ist, ist die Wronski-Determinante nicht konstant Null.

Zitat:

Laut obigem Satz könnte ich jetzt damit aus t = 1 schließen, dass die Funktionen auf ganz R l.u. sind, was erstens offenbar falsch ist

Welcher Satz denn?

09.12.2012, 18:48

co0kie

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Sorry, ich hatte mich vertan. Ich dachte, der Satz, dass die Funktionen l.u. sind, wenn es ein t gibt, für das die W-Determinante nicht Null wird, macht auch direkt eine Aussage über das Intervall, auf dem die Biester l.u. sind. Aber das ist nicht der Fall.

Danke für deine Hilfe soweit. Ich werde mal morgen meinen Prof fragen, wie die W-Determinante seiner Meinung nach für vektorwertige Funktionen aussieht...

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