Allgemeines Bildungsgesetz für Zahlenfolgen

09.12.2012, 01:08

David Hasselhoff

Allgemeines Bildungsgesetz für Zahlenfolgen

Meine Frage:
Hi Leute,

gibt es ein allgemeines Bildungsgesetz für Zahlenfolgen? Habe beim Untersuchen dieser Zahlenfolge herausgefunden, dass sie weder arithmetisch, noch geometrisch ist, was auch so im Lösungsbuch bestätigt wird. Allerdings steht dort sowohl ein rekursives, als auch ein explizites Bildungsgesetz für besagte Folge. Wie komme ich auf die beiden Gesetze?

Folge:

$\begin{eqnarray*} F: 1, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{5}, \frac{1}{3}, \frac{2}{7}, \frac{1}{4}, \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$

Rekursives Gesetz:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = (a_{n}^{-1} + \frac{1}{2} )^{-1} \end{eqnarray*}$

Explizietes Bildungsgesetz:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{2}{n+1} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schonmal!

Meine Ideen:
Folge weder arithmetisch, noch geometrisch; welches Gesetz muss ich verwenden?

09.12.2012, 13:07

David Hasselhoff

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Kann mir niemand helfen??

09.12.2012, 20:48

David Hasselhoff

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???

10.12.2012, 23:59

David Hasselhoff

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Danke für die Hilfe Augenzwinkern

11.12.2012, 08:48

Jello Biafra

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RE: Allgemeines Bildungsgesetz für Zahlenfolgen

Zitat:

Original von David Hasselhoff
Meine Frage:
Hi Leute,

gibt es ein allgemeines Bildungsgesetz für Zahlenfolgen?

Nein.

Zitat:

Original von David Hasselhoff Wie komme ich auf die beiden Gesetze?

Dazu gibt es i.A. kein Patentrezept. Im vorliegenden Fall tut's scharfes Hingucken.

11.12.2012, 09:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Jello Biafra
Im vorliegenden Fall tut's scharfes Hingucken.

... was in etwa bedeutet: Passend erweitern zu

$\begin{eqnarray*} F:\; \frac{2}{2}, \frac{2}{3}, \frac{2}{4}, \frac{2}{5}, \frac{2}{6}, \frac{2}{7}, \frac{2}{8}, \frac{2}{9}, \ldots \end{eqnarray*}$

Beim rekursiven Bildungsgesetz ist zu sagen, dass es das rekursive Bildungsgesetz nicht gibt. Bei einschränkender Vorgabe auf den Typ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = T(a_{n}) \end{eqnarray*}$ (im Unterschied zu anderen Möglichkeiten wie etwa $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = T(a_{n},a_{n-1}) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = T(a_{n},n) \end{eqnarray*}$ , usw.) kann man sich das allerdings aus dem expliziten Gesetz $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2}{n+1} \end{eqnarray*}$ herleiten: Es ist ja dann umgestellt

$\begin{eqnarray*} n = \frac{2}{a_n}-1 \end{eqnarray*}$

und mit $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} n+1 = \frac{2}{a_{n+1}}-1 \end{eqnarray*}$ .

Die erste Gleichung in die zweite eingesetzt eliminiert das explizite $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{a_n}-1+1 = \frac{2}{a_{n+1}}-1 \end{eqnarray*}$

was umgestellt nach $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ zur gewünschten rekursiven Darstellung

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2}{\frac{2}{a_n}+1} = \frac{2a_n}{2+a_n} \end{eqnarray*}$

führt.

P.S.: Vielleicht hat die "zähe" Hilfsbereitschaft etwas mit Nutzername und Avatar zu tun? Nur so eine Vermutung, schließlich haben jüngst Untersuchungen ergeben, dass viele Lehrer Schüler systematisch schlechter benoten, wenn sie Kevin oder Chantal heißen...

11.12.2012, 12:48

David Hasselhoff

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Vielen Dank erstmal für die Antwort! Ich lese sie mir gleich mal genauer durch, aber vom Hoff werde ich mich nicht trennen können!

11.12.2012, 12:59

David Hasselhoff

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Perfekt, danke für die Antwort, vor allem das rekursive Gesetz war mir in diesem Fall nicht klar!!

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